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专题10垂径定理实际应用一．选择题1．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A．0.5B．1C．2D．4解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD＝AB＝×0.8＝0.4米，设OA＝r，则OD＝r﹣DE＝r﹣0.2，在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝0.42+（r﹣0.2）2，解得r＝0.5米，故此输水管道的直径＝2r＝2×0.5＝1米．故选：B．2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA．根据垂径定理，得AD＝6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5故选：A．3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A．（π﹣4）cm2B．（π﹣8）cm2C．（π﹣4）cm2D．（π﹣2）cm2解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD＝2，AC＝BC，∵OA＝OD＝4，CD＝2，∴OC＝2，在RT△AOC中，sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，AC＝＝2，∴AB＝4，∴杯底有水部分的面积＝S扇形﹣S△AOB＝﹣××2＝（π﹣4）cm2故选：A．4．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）A．10平方米B．10π平方米C．100平方米D．100π平方米解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴AC＝BC，而AB＝20，∴AC＝10，∵AB与小圆相切，∴OC为小圆的半径，∴圆环的面积＝π•OA2﹣π•OC2＝π（OA2﹣OC2）＝π•AC2＝100π（平方米）．故选：D．5．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．26寸B．25寸C．13寸D．寸解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：A．6．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（）A．1B．2C．3D．4解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故选：B．7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm解：连接AB、CD交于点D，由题意得，OC⊥AB，则AD＝DB＝AB＝4，设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得，R＝5，则该铁球的直径为10cm，故选：B．8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②图1中，点A到上任意一点的距离都相等；③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A到上任意一点的距离都相等，正确；③、设等边三角形DEF的边长为a，∴勒洛三角形的周长＝3×＝aπ，圆的周长＝aπ，∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确．④夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误，故选：B．9．如图，是一个单心圆隧道的截面，若路面AB宽为20米，净高CD为14米，则此隧道单心圆的半径OA是（）A．10B．C．D．14解：设圆的半径是R．∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝10．在直角三角形AOD中，根据勾股定理得R2＝（14﹣R）2+100，解得R＝．故选：B．10．如图1，把圆形井盖卡在角尺[角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移10cm，如图2，OA边与圆的两个交点对应CD的长为40cm，则可知井盖的直径是（）A．25cmB．30cmC．50cmD．60cm解：作辅助线如下所示：设井盖的直径为2xcm，则BE＝10cm，BD＝（x﹣10）cm，BC＝20cm，CD＝xcm，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：CD2＝BC2+BD2，代入得：x2＝202+（x﹣10）2，解得：x＝25，则井盖的直径是50cm．故选：C．二．填空题11．如图为一个半径为3m的圆形会议室区域，其中放有四个宽为1m的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长为m．解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的长是2xm，在直角△OAD中，∠AOD＝45°，AD＝xm，则OD＝AD＝xm，在直角△OBC中，OC＝＝，∵OC﹣OD＝CD＝1，∴﹣x＝1，解得：x＝（负值舍去），则2x＝﹣1+．故答案是：﹣1+．12．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为．解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．AB＝8dm，DC＝2dm，∴AD＝4dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，故答案为：5dm．13．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是米．解：如图，连接OC，∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，∴EF⊥CD．∴CF＝FD．∵CD＝2，∴CF＝1，设OC＝x，则OF＝3﹣x，在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+（3﹣x）2＝x2．解得x＝，∴⊙O的直径为．故答案为：．14．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是．解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣DE＝R﹣4，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×16＝8，在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即这个圆形工件的半径是10．故答案为：1015．现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AB和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝2米，AB＝1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米．（结果保留π）解：将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E，由题意可得出：∠DAB＝∠ABC＝90°，∵AC＝2米，AB＝1米，∴∠ACB＝30°，∵餐桌两边AB和CD平行且相等，∴∠C＝∠1＝30°，∴EO＝AO＝m，∴AE＝×＝，∴AD＝，∵∠1＝∠D＝30°，∴∠AOD＝120°，∴S弓形AD面积＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣××，＝﹣，∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（﹣）平方米．故答案为：﹣．16．小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图1所示的是他了解的一款雨罩．它的侧面如图2所示，其中顶部圆弧AB的圆心O在整直边缘D上，另一条圆弧BC的圆心O．在水平边缘DC的廷长线上，其圆心角为90°，BE⊥AD于点E，则根据所标示的尺寸（单位：c）可求出弧AB所在圆的半径AO的长度为cm．解：连接BO1，易知BE＝60cm，AE＝50cm．设弧AB的半径为Rcm，则O1B＝Rcm，O1E＝（R﹣50）cm．在Rt△O1BE中，由勾股定理得：O1B2＝BE2+O1E2，即R2＝602+（R﹣50）2，解得：R＝61．故答案为：61三．解答题17．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6，OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．18．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，由作法得，CE＝DE＝0.8m，又∵OC＝OA＝1m，在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．19．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为．解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122解得：r＝13；答：该圆的半径r为13；（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；②当r＞8时，如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC，则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即：r2＝（r﹣8）2+a2，整理得：r＝a2+4．故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a2+4．20．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为SMNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x