搜索
2015-2016学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共36分）1．方程x（x+）=0的根是()A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣C．x1=0，x2=﹣2D．x1=0，x2=22．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠04．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是()A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=()A．80°B．90°C．100°D．无法确定6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=()A．30°B．35°C．45°D．60°7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是()A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2﹣28．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为()A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是()A．B．C．D．11．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为()A．B．C．D．12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为()A．3B．4﹣C．4D．6﹣2二.填空题：共18分.13．坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=__________．14．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为__________15．请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y随x增大而增大；它的解析式可以是__________16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为__________cm．17．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：__________．18．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是__________．（只填写序号）三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）（2）2x2+1=3x（配方法）20．二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．21．如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．（1）求∠COB的度数；（2）求CD的长．22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．23．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于__________，线段CE1的长等于__________；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）25．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．2015-2016学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共36分）1．方程x（x+）=0的根是()A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣C．x1=0，x2=﹣2D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程利用两数之积等于0，两数至少有一个为0求出解即可．【解答】解：方程x（x+）=0，可得x=0或x+=0，解得：x1=0，x2=﹣．故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0【解答】解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是()A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．【解答】解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=()A．80°B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=()A．30°B．35°C．45°D．60°【考点】切线的性质；正多边形和圆．【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．【解答】解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是()A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先利用顶点式得到抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），再利用点平移的规律得到点（0，1）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y=（x+2）2﹣2．故选B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【分析】直接根据二次函数的图象与x轴的交点及顶点坐标即可得出结论．【解答】解：①∵二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确；②∵当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；③∵抛物线与x轴的交点分别是（﹣3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之和=﹣3+1=﹣2，故③正确；④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤2，故④错误．故选C．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为()A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：如图所示：结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．故选A．【点评】本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是找到旋转的三要素，找到点B'的位置．10．如图，