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题型七二次函数压轴题1类型一类型二类型三二次函数综合的分类讨论例1(2018四川达州)如图,抛物线经过原点O(0,0),点A(1,1),点B72,0.(1)求抛物线解析式;(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于C,连接OC,求△AOC的面积;(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.2类型一类型二类型三解:(1)设抛物线解析式为y=ax𝑥-72,把A(1,1)代入得a·11-72=1,解得a=-25,∴抛物线解析式为y=-25𝑥𝑥-72,即y=-25x2+75x.(2)延长CA交y轴于D,如图1,∵A(1,1),∴OA=2,∠DOA=45°,∴△AOD为等腰直角三角形,∵OA⊥AC,∴OD=2OA=2,∴D(0,2),易得直线AD的解析式为y=-x+2,解方程组𝑦=-𝑥+2,𝑦=25𝑥2+75𝑥得𝑥=1,𝑦=1或𝑥=5,𝑦=-3,则C(5,-3),∴S△AOC=S△COD-S△AOD=12×2×5-12×2×1=4.3类型一类型二类型三(3)存在.如图2,作MH⊥x轴于H,AC=(5-1)2+(-3-1)2=42,OA=2,设M𝑥,-25𝑥2+75𝑥(x0),∵∠OHM=∠OAC,∴当𝑂𝐻𝑂𝐴=𝑀𝐻𝐴𝐶时,△OHM∽△OAC,即𝑥2=-25𝑥2+75𝑥45,解方程-25x2+75x=4x得x1=0(舍去),x2=-132(舍去),解方程-25x2+75x=-4x得x1=0(舍去),x2=272,此时M点坐标为272,-54;当𝑂𝐻𝐴𝐶=𝑀𝐻𝑂𝐴时,△OHM∽△CAO,即𝑥42=-25𝑥2+75𝑥2,解方程-25x2+75x=14x得x1=0(舍去),x2=238,4类型一类型二类型三解方程-25x2+75x=-14x得x1=0(舍去),x2=338,此时M点坐标为338,-3332;∵MN⊥OM,∴∠OMN=90°,∴∠MON=∠HOM,∴△OMH∽△ONM,∴当M点的坐标为272,-54或238,2332或338,-3332时,以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似.5类型一类型二类型三二次函数综合的存在性例2(2018湖南郴州)如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.6类型一类型二类型三(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.①求S关于t的函数表达式;②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=-x2+bx+c,-1-𝑏+𝑐=0,-9+3𝑏+𝑐=0,解得:𝑏=2,𝑐=3,∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.7类型一类型二类型三(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,如图3,∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=1.当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),∴点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由如下:若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,∴点P的横坐标t=1×2-0=2.又∵t≠2,∴不存在.8类型一类型二类型三(3)①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F,如图4.设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,3𝑚+𝑛=0,𝑛=3,解得𝑚=-1,𝑛=3.9类型一类型二类型三∴直线BC的解析式为y=-x+3.∵点P的坐标为(t,-t2+2t+3),∴点F的坐标为(t,-t+3),∴PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,∴S=12PF·OB=-32t2+92t=-32𝑡-322+278.②∵-320,∴当t=32时,S取最大值,最大值为278.∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),∴线段BC=𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=32,∴P点到直线BC的距离的最大值为278×232=928,此时点P的坐标为32,154.10类型一类型二类型三二次函数综合的动点例3(2018湖北襄阳)直线y=-32x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=-34x2+2mx-3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.11类型一类型二类型三(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒,PQ交线段AD于点E.①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.12类型一类型二类型三解:(1)在y=-32x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=2,∴点A(2,0)、点B(0,3),将点A(2,0)代入抛物线解析式,得-34×4+4m-3m=0,解得m=3,所以抛物线解析式为y=-34x2+6x-9,∵y=-34x2+6x-9=-34(x-4)2+3,∴点D(4,3),对称轴为x=4,∴点C坐标为(6,0);13类型一类型二类型三(2)如图1,由(1)知BD=AC=4,根据0≤3t≤4,得0≤t≤43,①∵B(0,3)、D(4,3),∴BD∥OC,∴∠CAD=∠ADB,∵∠DPE=∠CAD,∴∠DPE=∠ADB,∵AB=22+32=13,AD=(4-2)2+32=13,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠DPE=∠ABD,∴PQ∥AB,∴四边形ABPQ是平行四边形,∴AQ=BP,即2t=4-3t,解得t=45,即当∠DPE=∠CAD时,t=45秒;图114类型一类型二类型三②(ⅰ)当点N在AB上时,0≤2t≤2,即0≤t≤1,连接NE,延长PN交x轴于点F,延长ME交x轴于点H,∵PN⊥BD.EM⊥BD,BD∥OC,PN=EM,∴OF=BP=2t,PF=OB=3,NE=FH、NF=EH,NE∥FQ,∴FQ=OC-OF-QC=6-5t,∵点N在直线y=-32x+3上,∴点N的坐标为(2t,-3t+3),∴PN=PF-NF=3-(-3t+3)=3t,∵NE∥FQ,∴△PNE∽△PFQ,∴𝑁𝐸𝐹𝑄=𝑃𝑁𝑃𝐹,∴FH=NE=𝑃𝑁𝑃𝐹·FQ=3𝑡3×(6-5t)=6t-5t2,图215类型一类型二类型三∵A(2,0),D(4,3),∴直线AD解析式为y=32x-3,∵点E在直线y=32x-3上,∴点E的坐标为(4-2t,-3t+3),∵OH=OF+FH,∴4-2t=2t+6t-5t2,解得t=1+551(舍去)或t=1-55;16类型一类型二类型三(ⅱ)当点N在AD上时,22t≤4,即1t≤43,∵PN=EM,∴点E,N重合,此时PQ⊥BD,∴BP=OQ,∴2t=6-3t,解得t=65,综上所述,当PN=EM时,t=1-55秒或t=65秒.17