2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期末数学试卷

试卷第1页，总9页2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题𝑝:∀𝑥∈𝑅，𝑥2≥1的否定是（）A.∀𝑥∈𝑅，𝑥21B.∃𝑥∈𝑅，𝑥21C.∀𝑥∉𝑅，𝑥2≥1D.𝑥∉𝑅，𝑥212.已知集合𝐴＝{2, 4, 6}，𝐵＝{𝑥|(𝑥−2)(𝑥−6)＝0}，则𝐴∩𝐵＝（）A.⌀B.{2}C.{6}D.{2, 6}3.已知𝑝:𝑥1，𝑞:|𝑥|1，那么𝑝是𝑞成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.口袋中有若干红球、黄球与篮球，若摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出红球或篮球的概率为（）A.0.22B.0.38C.0.6D.0.785.已知点(2, 9)在指数函数𝑦＝𝑓(𝑥)的图象上，则𝑓−1(27)＝（）A.14B.13C.3D.46.函数𝑓(𝑥)＝(12)𝑥−𝑥3−2在区间(−1, 0)内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.37.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（）A.2斤B.75斤C.65斤D.1110斤试卷第2页，总9页8.已知函数𝑦＝𝑥𝑎，𝑦＝𝑏𝑥，𝑦＝log𝑐𝑥的图象如图所示，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑎𝑐𝑏D.𝑏𝑐𝑎二、多选选择题设𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，且𝑎𝑏，则下列不等式成立的是（）A.𝑎𝑐2𝑏𝑐2B.1𝑎21𝑏2C.𝑎−𝑐𝑏−𝑐D.𝑒−𝑎𝑒−𝑏已知函数𝑓(𝑥)＝𝑥2−2𝑥+𝑎有两个零点𝑥1，𝑥2，以下结论正确的是（）A.𝑎1B.若𝑥1𝑥2≠0，则1𝑥1+1𝑥2=2𝑎C.𝑓(−1)＝𝑓(3)D.函数有𝑦＝𝑓(|𝑥|)四个零点在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是（）甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地已知函数𝑓(𝑥)={|𝑥+1|−1,𝑥0,𝑓(𝑥−2),𝑥≥0.则以下结论正确的是（）A.𝑓(2020)＝0B.方程𝑓(𝑥)=14𝑥−1有三个实根C.当𝑥∈[4, 6)时，𝑓(𝑥)＝|𝑥−5|−1D.若函数𝑦＝𝑓(𝑥)−𝑡在(−∞, 6)上有8个零点𝑥𝑖(𝑖＝1, 2, 3,…,8)，则∑𝑓𝑖=18𝑥𝑖(𝑥𝑖)的取值范围为(−16, 0)三、填空题(827)13+(12)𝑙𝑜𝑔23=________．试卷第3页，总9页数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为________．设函数𝑓(𝑥)=1𝑒𝑥+𝑎𝑒𝑥（𝑎为常数）．若𝑓(𝑥)为偶函数，则实数𝑎＝________；若对∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)≥1恒成立，则实数𝑎的取值范围是________．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥2+(𝑘+2)𝑥+2𝑥2+𝑥+1(𝑥0)，𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，以𝑓(𝑎)，𝑓(𝑏)，𝑓(𝑐)的值为边长可构成一个三角形，则实数𝑘的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知集合𝐴＝[3, 6]，𝐵＝[𝑎, 8]．（1）在①𝑎＝7，②𝑎＝5，③𝑎＝4这三个条件中选择一个条件，使得𝐴∩𝐵≠⌀，并求𝐴∩𝐵；（2）已知𝐴∪𝐵＝[3, 8]，求实数𝑎的取值范围．已知函数𝑓(𝑥)＝−2𝑥2+7𝑥−3．（1）求不等式𝑓(𝑥)0的解集；（2）当𝑥∈(0, +∞)时，求函数𝑦=𝑓(𝑥)𝑥的最大值，以及𝑦取得最大值时𝑥的值．已知函数𝑓(𝑥)＝log𝑎(𝑥+2)+log𝑎(2−𝑥)(0𝑎1)．（1）判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性；（2）若函数𝑓(𝑥)的最小值为−2，求实数𝑎的值．已知函数𝑓(𝑥)={(12)𝑥−1,𝑥0,𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1),𝑥≥0.试卷第4页，总9页（1）求𝑓[𝑓(−1)]的值；（2）在绘出的平面直角坐标系中，画出函数𝑦＝𝑓(𝑥)的大致图象；（3）解关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)2．某手机生产厂商为迎接5𝐺时代的到来，要生产一款5𝐺手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：[5.0, 5.5)，[5.5, 6.0)，[6.0, 6.5)，[6.5, 7.0)，[7.0, 7.5)，[7.5, 8.0)（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在[5.5, 6.0)的一组人数为50人．（1）求𝑎和𝑏的值；（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[5.0, 5.5)和[7.0, 7.5)两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？（3）若以厂家此次调查结果的频率作为概率，市场随机调查两人，这两人屏幕需求尺寸分别在[6.0, 6.5)和[7.0, 7.5)的概率是多少？已知函数𝑓(𝑥)=1𝑒𝑥−𝑎，函数𝑦＝𝑔(𝑥)为函数𝑦＝𝑓(𝑥)的反函数．试卷第5页，总9页（1）求函数𝑦＝𝑔(𝑥)的解析式；（2）若方程𝑔(𝑥)＝ln[(𝑎−3)𝑥+2𝑎−4]恰有一个实根，求实数𝑎的取值范围；（3）设𝑎0，若对任意𝑏∈[14,1]，当𝑥1，𝑥2∈[𝑏, 𝑏+1]时，满足|𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2)|≤ln4，求实数𝑎的取值范围．试卷第6页，总9页参考答案与试题解析2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、多选选择题【答案】C,D【答案】A,B,C【答案】A,D【答案】A,C,D三、填空题【答案】1【答案】试卷第7页，总9页33【答案】1,[14, +∞)【答案】(−3, 6]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】选择条件②𝑎＝5，若选②，则𝐴∩𝐵＝[3, 6]∩[5, 8]＝[5, 6]．（或③𝑎＝4，则𝐴∩𝐵＝[3, 6]∩[4, 8]＝[4, 6]．）因为𝐴∪𝐵＝[3, 8]，𝐴＝[3, 6]，𝐵＝[𝑎, 8]，可得3≤𝑎≤6，所以实数的取值范围为[3, 6]．【答案】由题意得−2𝑥2+7𝑥−30，因为方程−2𝑥2+7𝑥−3＝0有两个不等实根𝑥1=12，𝑥2＝3，又二次函数𝑓(𝑥)＝−2𝑥2+7𝑥−3的图象开口向下，所以不等式𝑓(𝑥)0的解集为{𝑥|12𝑥3}．由题意知，𝑦=𝑓(𝑥)𝑥=−2𝑥2+7𝑥−3𝑥=−2𝑥−3𝑥+7，因为𝑥0，所以𝑦=−2𝑥−3𝑥+7=7−(2𝑥+3𝑥)≤7−2√6，当且仅当2𝑥=3𝑥，即𝑥=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当𝑥=√62时，𝑦取得最大值为7−2√6．【答案】要使函数𝑓(𝑥)有意义，则有{𝑥+20,2−𝑥0,解得−2𝑥2，因为𝑓(−𝑥)＝log𝑎(−𝑥+2)+log𝑎(2+𝑥)＝𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)是偶函数．𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(4−𝑥2)(0𝑎1)，因为𝑥∈(−2, 2)，所以04−𝑥2≤4，令𝜇＝4−𝑥2，又0𝑎1，所以𝑦＝log𝑎𝜇在上为减函数，所以𝑓min(𝑥)＝log𝑎4＝−2，所以𝑎−2＝4，𝑎=12．【答案】𝑓(−1)＝1，𝑓[𝑓(−1)]＝𝑓(1)＝log2(1+1)＝1；如图所示，试卷第8页，总9页当𝑥0时，𝑓(𝑥)=(12)𝑥−12，即(12)𝑥3，得𝑥𝑙𝑜𝑔123，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)＝log2(𝑥+1)2，所以𝑥+14，得𝑥3，故原不等式解集为{𝑥|𝑥log123𝑥3}．【答案】由已知，屏幕需求尺寸在[5.5, 6.0)的一组频数为50，所以其频率为50400=0.125，又因为组距为0.5，所以𝑏=0.1250.5=0.25，又因为(0.1+0.25+0.7+𝑎+0.2+0.1)×0.5＝1，解得𝑎＝0.65，所以𝑎＝0.65，𝑏＝0.25．由直方图知，两组人数分别为0.1×12×400=20，0.2×12×400=40，若分层抽取6人，则在[5.0, 5.5)组中抽取2人，设为𝑥，𝑦；在[7.0, 7.5)组中抽取，设为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，样本空间𝛺＝{(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑎), (𝑥, 𝑏), (𝑥, 𝑐), (𝑥, 𝑑), (𝑦, 𝑎), (𝑦, 𝑏), (𝑦, 𝑐), (𝑦, 𝑑), (𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑎, 𝑑), (𝑏, 𝑐), (𝑏, 𝑑), (𝑐, 𝑑)}共15个基本事件，记两人来自同一组为事件𝐴，𝐴＝{(𝑥, 𝑦), (𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑎, 𝑑), (𝑏, 𝑐), (𝑏, 𝑑), (𝑐, 𝑑)}共7个基本事件．所以𝑃(𝐴)=715．记事件𝐵为屏幕需求尺寸在[6.0, 6.5)，事件𝐶为屏幕需求尺寸在[7.0, 7.5)，若以调查频率作为概率，则𝑃(𝐵)＝0.35，𝑃(𝐶)＝0.1，𝑃(𝐵𝐶)＝𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)＝0.035，所以两人分别需求屏幕尺寸在[6.0, 6.5)和[7.0, 7.5)的概率为0.035．【答案】因为𝑦＝𝑔(𝑥)为函数𝑦＝𝑓(𝑥)的反函数，故𝑥=1𝑒𝑦−𝑎，试卷第9页，总9页得𝑦=ln(1𝑥+𝑎)，所以𝑔(𝑥)=ln(1𝑥+𝑎)；由ln(1𝑥+𝑎)=ln[(𝑎−3)𝑥+2𝑎−4]得(𝑎−3)𝑥2+(𝑎−4)𝑥−1＝0，当𝑎＝3时，𝑥＝−1，经检验，满足题意，当𝑎＝2时，𝑥1＝𝑥2＝−1，经检验，满足题意，当𝑎≠2且𝑎≠3时，𝑥1=1𝑎−3，𝑥2＝−1，𝑥1≠𝑥2，若𝑥1是原方程的解，当且仅当1𝑥1+𝑎0，即𝑎32，若𝑥2是原方程的解，当且仅当1𝑥2+𝑎0，即𝑎1，于是满足题意的𝑎∈(1,32]，综上，𝑎的取值范围为(1,32]∪{2,3}；不妨令𝑏≤𝑥1≤𝑥2≤𝑏+1，则1𝑥1+𝑎1𝑥2+𝑎，即函数𝑔(𝑥)=ln(1𝑥+𝑎)在[𝑏, 𝑏+1]上为减函数；𝑔(𝑥)max=ln(1𝑏+𝑎)，𝑔(𝑥)min=ln(1𝑏+1+𝑎)，因为当𝑥1，𝑥2∈[𝑏, 𝑏+1]，满足|𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2)|≤ln4，故只需ln(1𝑏+𝑎)−ln(1𝑏+1+𝑎)≤ln4，即3𝑎𝑏2