三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角（弧度）(,).（2）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）（3）弧度制度：半径为r的圆心角所对弧长为l，则lr（弧度或rad）.（4）与角（弧度）终边相同的角的集合为2,kkZ，其意义在于的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.注：弧度或rad可省略（5）两制互化：一周角=036022rr（弧度），即0180.1（弧度）00018057.35718故在进行两制互化时，只需记忆0180，01180两个换算单位即可：如：005518015066；036361805.（6）弧长公式：lr((0,2])，扇形面积公式：21122Slrr.注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22Slr底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角终边上的任一点(,)Pxy（非原点O），则P到原点O的距离220rOPxy.sin,cos,tanyxyrrx.lrr图4-1此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y，邻x，斜r，如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以为第二象限角为例.角的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M，的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取为第二象限角，sin=MP0,cos=OM0,tan=AT0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中221rxy，则：（1）sinyyr，即终边与单位圆交点的纵坐标y即为的正弦值sin.如图4-4（a）所示，sin的特征为：001101111.上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到（2）cosxxr，即终边与单位圆交点的横坐标x即为的余弦值cos.如图4-4（b）所示，cos的特征为：001101111.右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到（3）tanyx.如图4-4（c）所示，tan的特征为：0.一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增r（斜）y（对）图4-2x（邻）y(cos,sin)P(1tan)T，AxMO图4-3三、同角三角函数的基本关系、诱导公式1.同角三角函数的基本关系平方关系：22sincos1商数关系：sintancos2.诱导公式（1）sin()sin()sin()nnn为偶数；为奇数cos()cos()cos()nnn为偶数；为奇数tan()tan()nn为整数.（2）奇偶性.sin-=-sincos-=costan-=-tan，，.（3）1sin-=coscos-=sintan-=222tan，，奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.例如（1）sin+2,因为+22，所以sin+02，即sin+=cos2，（2）sin+，因为3+2，所以sin+0，即sin+=-cos，简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.减O减O增O增OyxO++－－-010-1（a）O减O减O增O增OyxO—+—+10-10（b）O增O增O增O增OyxO－++－-00（c）O图4-4题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别思路提示（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（）A.,kkZB.,2kkZC.,2kkZD.,2kkN分析表示终边相同的角的集合，必有kZ，而不是kN.解析解法一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x轴正、负半轴，y轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k可知只有选项B占有4条半轴，故选B.解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113,2,,,,0,,,,2,,2222可以看作双向等差数列，公差为2，取初始角0，故0()2kkZ，故0()2kkZ,2kkZ故选B.评注终边在x轴的角的集合，公差为，取初始角0,kkZ；终边在y轴的角的集合，公差为，取初始角2,2kkZ.例4.2请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析（1）如图4-5（a）所示阴影部分的角的集合表示为22,63kkkN；437636Oyx(a)236Oyx(b)236Oyx(c)36Oyx(d)图4-5（2）如图4-5（b）所示阴影部分的角的集合表示为222,63kkkN；（3）如图4-5（c）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36kkkN；（4）如图4-5（d）所示阴影部分的角的集合表示为,63kkkN.评注任一角与其终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M⊆NB．N⊆MC．M＝ND．M∩N＝∅例4.3下列命题中正确的是（）A.第一象限角是锐角B.第二象限角是钝角C.0,，是第一、二象限角D.,02，是第四象限角，也叫负锐角解析第一象限角的集合为022,2kkkZ，锐角的集合是是其真子集（即当0k时）故选项A错；同理选项B错；选项C中(0,)2，但2不是象限角，选项C也错，故选D.题型2等分角的象限问题思路提示先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）n的象限分布图示.例4.4是第二象限角，2是第象限角解析解法一：与终边相同的角的集合公差为2，该集合中每个月的一半组成的集合公差为，取第二象限的一个初始集合,2，得2的初始集合,42，对比集合以公差旋转得2的分布，如图4-6所示，得2是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，是第二象限角，2是第一、三象限角，又若是第四象限角，2是第二、四象限角.解法三：取=0120，000012036060,2402，即2是第一、三象限角.评注对于2是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2的分布.对于3是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“n是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n部分，并从x轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（终边所在象限）所在象限即为n终边所在象限.例如：3的象限分布图示如图4-8所示，若为第一象限角，则3为第一、二、三象限角.变式1若是第二象限角，则3是第象限角；若是第二象限角，则3的取值范围是题型3弧长与扇形面积公式的计算思路提示（1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2（弧度制(0,2]）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小.解析：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为（弧度），扇形面积S.依题意0024rlrl，12Slr，则12Slr11(42)(42)224rrrr3224Oyx54图4-62314x4132y图4-7O21422()142rr，（当且仅当422rr时，即1r时取“=”，此时2l）故扇形的面积最大值为1，此时lr=2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442lrSlrlr，当且仅当22lr，即2l，1r时“=”成立，此时lr=2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，222Clrlr,且112lr得2lr，故4C（当且仅当22lr时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1扇形OAB的圆心角OAB=1（弧度），则AB=（）A.1sin2B.6C.11sin2D.21sin2变式2扇形OAB，其圆心角OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为题型4三角函数定义题思路提示（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）诱导公式；（3）理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6角终边上一点(2sin5,2cos5)P，(0,2)，则=（）A.52B.35C.5D.5+2解析解法一：排队法.005557.3286.5，是第四象限角，2sin50x，2cos50y，222rxy，是第三象限角.选项C中，5是第四象限角，选项D中，5+2是第一象限角，故排除C、D；选项B中，coscos35cos5，与cossin5xr矛盾，排除B，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2，,(0,)2（这样设的原因是cossin5），coscos()=cos，3sin5sin()cos2coscoscoscos，,(0,)2352，35522故选A.变式1已知角终边上一点(2sin2,2cos2)P，(0,2)，则=（）A.2B.-2C.22D.22变式2已知角终边上一点22(2sin,2cos)77P，则=变式3已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（）A.45B.35C.35D.45题型5三角函数线及其应用思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线一，利用三角函数线证明三角公式例4.7证明（1）sin-=sin，（2）sin-=cos2（3）31tan=-