沪科版九年级“圆”基础题

第1页，共12页沪科版九年级下册数学“圆”基础题及其答案题号一二三总分得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.如图，PA、PB是⊙𝑂的切线，切点分别为A、B，点C在⊙𝑂上，如果∠𝑃=50∘，那么∠𝐴𝐶𝐵等于(  )A.40∘B.50∘C.65∘D.130∘2.如图，AB是⊙𝑂的直径，CD是弦，且𝐴𝐵//𝐶𝐷，若𝐴𝐵=8，∠𝐴𝐵𝐶=30∘，则弦AD的长为(  )A.√3B.4√3C.2√3D.8二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）3.如图，四边形ABCD内接于⊙𝑂，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，点D为𝐴^𝐶的中点，若∠𝐵=50∘，则∠𝐴的度数为______度.4.如图，AB是⊙𝑂的直径，C、D是⊙𝑂上的两点，若∠𝐴𝐵𝐷=62∘，则∠𝐵𝐶𝐷=______．第2页，共12页5.如图，AB是⊙𝑂的直径，点C和点D是⊙𝑂上两点，连接AC、CD、BD，若𝐶𝐴=𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=80∘，则∠𝐶𝐴𝐵=______∘.6.如图，四边形ABCD内接于⊙𝑂，若∠𝐵𝐶𝐷=130∘，则∠𝐵𝑂𝐷=______∘.7.如图，AB为⊙𝑂的直径，弦𝐴𝐶=4𝑐𝑚，𝐵𝐶=3𝑐𝑚，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为D，那么CD的长为______cm．8.圆的半径为1，𝐴𝐵是圆中的一条弦，𝐴𝐵=√3，则弦AB所对的圆周角的度数为______．9.如图，PA、PB是⊙𝑂的切线，A、B是切点，已知∠𝑃=60∘，𝑂𝐴=3，那么AB的长为______．10.如图，⊙𝑂的半径为1，𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙𝑂的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵.连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝐴𝐵，𝑃𝑂，若∠𝐴𝑃𝐵=60∘，则△𝑃𝐴𝐵的周长为______．11.如图，直线𝐴𝐵，𝐶𝐷分别与⊙𝑂相切于𝐵，𝐷两点，且𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，垂足为P，连接BD，若𝐵𝐷=4，则阴影部分的面积为______．第3页，共12页12.一顶简易的圆锥形帐蓬，帐篷收起来时伞面的长度有4米，撑开后帐篷高2米，则帐篷撑好后的底面直径是______米.13.若圆锥的底面半径为3，侧面积为15𝜋，则母线长为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．(1)把△𝐴𝐵𝐶绕着点C逆时针旋转90∘，画出旋转后对应的△𝐴1𝐵1𝐶；(2)求△𝐴𝐵𝐶旋转到△𝐴1𝐵1𝐶时线段AC扫过的面积．15.已知，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点E是边AC上一点，过点E作𝐸𝐹//𝐵𝐶交AB于点F(1)如图①，求证：𝐴𝐸=𝐴𝐹；(2)如图②，将△𝐴𝐸𝐹绕点A逆时针旋转𝛼(0∘𝛼144∘)得到△𝐴𝐸′𝐹′.连接𝐶𝐸′𝐵𝐹′．①若𝐵𝐹′=6，求𝐶𝐸′的长；②若∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=36∘，在图②的旋转过程中，当𝐶𝐸′//𝐴𝐵时，直接写出旋转角𝛼的大小．第4页，共12页16.如图，AB是⊙𝑂的直径，点C是⊙𝑂上一点，∠𝐵𝐴𝐶的平分线AD交⊙𝑂于点D，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙𝑂的切线；(2)如果∠𝐵𝐴𝐶=60∘，𝐴𝐷=4，求AC长．17.如图，⊙𝐶经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0，2)，𝐷为⊙𝐶上在第一象限内的一点且∠𝑂𝐷𝐵=60∘．(1)求线段AB的长及⊙𝐶的半径；(2)求B点坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数𝑦=12𝑥(𝑥0)图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点A、与y轴交于点B，连接AB．(1)求证：P为线段AB的中点；(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积．第5页，共12页第6页，共12页答案和解析【答案】1.C2.B3.654.28∘5.406.1007.2.48.60∘或120∘9.3√310.3√311.2𝜋−412.4√313.514.解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶即为所求；(2)∵𝐶𝐴=√22+22=2√2，∴𝑆=90⋅𝜋⋅(2√2)2360=2𝜋．15.(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶，∵𝐸𝐹//𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶，∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐸𝐹，∴𝐴𝐸=𝐴𝐹．(2)解：①由旋转的性质得，∠𝐸′𝐴𝐶=∠𝐹′𝐴𝐵，𝐴𝐸′=𝐴𝐹′，在△𝐶𝐴𝐸′和△𝐵𝐴𝐹′中，{𝐴𝐸′=𝐴𝐹′∠𝐸′𝐴𝐶=∠𝐹′𝐴𝐵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴△𝐶𝐴𝐸′≌△𝐵𝐴𝐹′(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐶𝐸′=𝐵𝐹′=6；②由(1)可知𝐴𝐸=𝐵𝐶，所以，在△𝐴𝐸𝐹绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，第7页，共12页①当点E的像𝐸′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐴𝐵𝐶=72∘，又∵∠𝐵𝐴𝐶=36∘，∴𝛼=∠𝐶𝐴𝑀=36∘；②当点E的像𝐸′与点N重合时，∵𝐶𝐸′//𝐴𝐵，∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐵𝐴𝑀=72∘，∵𝐴𝑀=𝐴𝑁，∴∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝑀𝑁=72∘，∴∠𝑀𝐴𝑁=180∘−72∘×2=36∘，∴𝛼=∠𝐶𝐴𝑁=∠𝐶𝐴𝑀+∠𝑀𝐴𝑁=36∘+36∘=72∘，综上所述，当旋转角𝛼为36∘或72∘．16.(1)证明：连接OD，如图，∵∠𝐵𝐴𝐶的平分线AD交⊙𝑂于点D，∴∠1=∠2，∵𝑂𝐴=𝑂𝐷，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴𝑂𝐷//𝐴𝐸，∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐸，∴𝐷𝐸⊥𝑂𝐷，∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；(2)解：作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于H，如图，则𝐴𝐻=𝐶𝐻，∵∠𝐵𝐴𝐶=60∘，∴∠2=30∘，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，𝐷𝐸=12𝐴𝐷=2，易得四边形ODEH为矩形，∴𝑂𝐻=𝐷𝐸=2，在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐻中，∵∠𝑂𝐴𝐻=60∘，∴𝐴𝐻=𝑂𝐻√3=2√33，∴𝐴𝐶=2𝐴𝐻=4√33．17.解：(1)连接AB；∵∠𝑂𝐷𝐵=∠𝑂𝐴𝐵，∠𝑂𝐷𝐵=60∘，∴∠𝑂𝐴𝐵=60∘，第8页，共12页∵∠𝐴𝑂𝐵是直角，∴𝐴𝐵是⊙𝐶的直径，∠𝑂𝐵𝐴=30∘；∴𝐴𝐵=2𝑂𝐴=4，∴⊙𝐶的半径𝑟=2；(2)在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵中，由勾股定理得：𝑂𝐵2+𝑂𝐴2=𝐴𝐵2，∴𝑂𝐵=2√3，∴𝐵的坐标为：(2√3，0)．18.(1)证明：∵点A、O、B在⊙𝑃上，且∠𝐴𝑂𝐵=90∘，∴𝐴𝐵为⊙𝑃直径，即P为AB中点；(2)解：∵𝑃为𝑦=12𝑥(𝑥0)上的点，设点P的坐标为(𝑚，𝑛)，则𝑚𝑛=12，过点P作𝑃𝑀⊥𝑥轴于𝑀，𝑃𝑁⊥𝑦轴于N，∴𝑀的坐标为(𝑚，0)，𝑁的坐标为(0，𝑛)，且𝑂𝑀=𝑚，𝑂𝑁=𝑛，∵点A、O、B在⊙𝑃上，∴𝑀为OA中点，𝑂𝐴=2m；N为OB中点，𝑂𝐵=2n，∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=12𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=2𝑚𝑛=24．【解析】1.解：连接𝑂𝐴，𝑂𝐵．根据切线的性质，得∠𝑂𝐵𝑃=∠𝑂𝐴𝑃=90∘，根据四边形的内角和定理得∠𝐴𝑂𝐵=130∘，再根据圆周角定理得∠𝐶=12∠𝐴𝑂𝐵=65∘．故选：C．连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，先由切线的性质得出∠𝑂𝐵𝑃=∠𝑂𝐴𝑃=90∘，进而得出∠𝐴𝑂𝐵=130∘，再根据圆周角定理即可求解．综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．2.解：连接BD，∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐶，∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=30∘，∴∠𝐴𝐷𝐶=30∘，∴∠𝐵𝐴𝐷=30∘，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵=8，∴∠𝐴𝐷𝐵=90∘，∴𝐴𝐷=𝐴𝐵⋅cos30∘=8×√32=4√3，故选B．根据平行线的性质、圆周角定理和特殊角的三角函数值可以求得AD的长，本题得以解决．本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用圆周角定理和数形结合的思想解答．第9页，共12页3.解：连接OD、OC，∵点D为𝐴^𝐶的中点，∴∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷，∵∠𝐵=50∘，∴∠𝐴𝑂𝐶=100∘，∴∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷=50∘，∴∠𝐴=∠𝑂𝐷𝐴=65∘，故答案为：65．连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠𝐴𝑂𝐶=100∘，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4.解：∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90∘，∵∠𝐴𝐵𝐷=62∘，∴∠𝐴=90∘−∠𝐴𝐵𝐷=28∘，∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴=28∘．故答案为28∘．根据圆周角定理的推论由AB是⊙𝑂的直径得∠𝐴𝐷𝐵=90∘，再利用互余计算出∠𝐴=90∘−∠𝐴𝐵𝐷=28∘，然后再根据圆周角定理求∠𝐵𝐶𝐷的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．5.解：∵∠𝐴𝐶𝐷=80∘，𝐶𝐴=𝐶𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴=12(180∘−80∘)=50∘，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=50∘，∵𝐴𝐵是直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∴∠𝐶𝐴𝐵=90∘−∠𝐵=40∘．故答案为：40．根据等腰三角形的性质先求出∠𝐶𝐷𝐴，根据∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐶𝐵𝐴，再根据直径的性质得∠𝐴𝐶𝐵=90∘，由此即可解决问题．本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．6.解：∵四边形ABCD内接于⊙𝑂，若∠𝐵𝐶𝐷=130∘，∴∠𝐴=50∘，∴∠𝐵𝑂𝐷=100∘．故答案为100∘．结合已知条件可以推出∠𝐴=50∘，根据圆周角定理即可推出∠𝐵𝑂𝐷=100∘．本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠𝐴的度数．7.解：∵𝐴𝐵为⊙𝑜的直径∴∠𝐴𝐶𝐵=90∘∵𝐴𝐶=4𝑐𝑚，𝐵𝐶=3𝑐𝑚∴𝐴𝐵=5𝑐𝑚∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵∴𝐶𝐷的长为𝐴𝐶⋅𝐵𝐶𝐴𝐵=2.4𝑐𝑚答案：CD的长为2.4𝑐𝑚．第10页，共12页故填空答案：2.4．由AB为⊙𝑜的直径可以得到∠𝐴𝐶𝐵=90∘，由𝐴𝐶=4𝑐𝑚，𝐵𝐶=3𝑐𝑚利用勾股定理求出AB，而𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，利用面积公式可以求出CD．此题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边的长；此题还考查了圆的性质；直径所对的圆周角等于直角．8.解：如图，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐵于H，连接OA、𝑂𝐵，∠𝐶和∠𝐶′为AB所对的圆周角，∵𝑂𝐻⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐻=𝐵𝐻=12𝐴𝐵=√32，在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐻中，∵cos∠𝑂𝐴𝐻=𝐴𝐻𝑂𝐴=√32，∴∠𝑂𝐴𝐻=30∘，∴∠𝐴𝑂𝐵=180∘−60∘=120∘，∴∠𝐶=12∠𝐴𝑂𝐵=60∘，∴∠𝐶′=180∘−∠𝐶=120∘，即弦AB所对的圆周角为60∘或120∘．故答案为60∘或120∘．如图，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐵于H，连接OA、𝑂𝐵，∠𝐶和∠𝐶′为AB所