2012年浙江省高考数学试卷(理科)

第1页（共24页）2012年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•浙江）设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁RB）＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则＝（）A．1﹣2iB．2﹣iC．2+iD．1+2i3．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2012•浙江）把函数y＝cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．第2页（共24页）5．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|＝||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|＝||﹣||C．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ，使得＝λD．若存在实数λ，使得＝λ，则|+|＝||﹣||6．（5分）（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种7．（5分）（2012•浙江）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞08．（5分）（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2012•浙江）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）第3页（共24页）A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞bB．若2a+2a＝2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞bD．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b10．（5分）（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3．12．（4分）（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．13．（4分）（2012•浙江）设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，则q＝．14．（4分）（2012•浙江）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3＝．第4页（共24页）15．（4分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则•＝．16．（4分）（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝．17．（4分）（2012•浙江）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝C．（1）求tanC的值；（2）若a＝，求△ABC的面积．19．（14分）（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．20．（15分）（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．21．（15分）（2012•浙江）如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．第5页（共24页）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．22．（14分）（2012•浙江）已知a＞0，b∈R，函数f（x）＝4ax3﹣2bx﹣a+b．（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．第6页（共24页）2012年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•浙江）设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁RB）＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁RB）即可得出正确选项【解答】解：由题意B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，故∁RB＝{x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩（∁RB）＝（3，4）故选：B．【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则＝（）A．1﹣2iB．2﹣iC．2+iD．1+2i【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．【解答】解：故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．3．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．第7页（共24页）【解答】解：∵当a＝1时，直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a＝﹣2，a＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．4．（5分）（2012•浙江）把函数y＝cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y＝cos（x+1），然后将曲线y＝cos（x+1）的图象和余弦曲线y＝cosx进行对照，可得正确答案．【解答】解：将函数y＝cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不第8页（共24页）变），得到的图象对应的解析式为：y＝cosx+1，再将y＝cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y＝cos（x+1），∵曲线y＝cos（x+1）由余弦曲线y＝cosx左移一个单位而得，∴曲线y＝cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选：A．【点评】本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．5．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|＝||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|＝||﹣||C．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ，使得＝λD．若存在实数λ，使得＝λ，则|+|＝||﹣||【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．【解答】解：对于A，若|+|＝||﹣||，则||2+||2+2•＝||2+||2﹣2||||，得•＝﹣||||≠0，与不垂直，所以A不正确；对于B，由A解析可知，|+|≠||﹣||，所以B不正确；对于C，若|+|＝||﹣||，则||2+||2+2•＝||2+||2﹣2||||，得•＝﹣||||，则cosθ＝﹣1，则与反向，因此存在实数λ，使得＝λ，所以C正确．对于D，若存在实数λ，则•＝λ||2，﹣||||＝λ||2，由于λ不能等于0，因此•≠﹣||||，则|+|≠||﹣||，所以D不正确．故选：C．第9页（共24页）【点评】本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．6．（5分）（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有＝1种结果，当取得4个奇数时，有＝5种结果，当取得2奇2偶时有＝6×10＝60∴共有1+5+60＝66种结果，故选：D．【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．7．（5分）（2012•浙江）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0【分析】由等差数列的求和公式可得Sn＝na1+d＝n2+（a1+）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：由等差数列的求和公式可得Sn＝na1+d＝n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项，故正确；选项B，若数列{Sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有Sn＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，第10页（共24页）可得数列{Sn}是递增数列，故正确；选项D，若数列{Sn}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有Sn＞0，故错误．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式