2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

12016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年山东，理1，5分】若复数z满足232izz，其中i为虚数为单位，则z（）（A）12i（B）12i（C）12i（D）12i【答案】B【解析】设,,zabiabR，则2()i23i32izzzzzabaab，所以1,2ab，故选B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合22,,10xAyyxRBxx，则AB（）（A）1,1（B）0,1（C）1,（D）0,【答案】C【解析】由题意0,A，1,1B，所以1,AB，故选C．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1)2.50.30，所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是20010.30140人，故选D．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x，y满足22390xyxyx，则22xy的最大值是（）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】由22xy是点,xy到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点0,2,0,3,3,1，所以3,1是最优解，22xy的最大值是10，故选C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A）1233（B）1233（C）1236（D）216【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236，故选C．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线,ab分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2【答案】A【解析】由直线a和直线b相交，可知平面、有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直线a和直线b不一定相交，故选A．【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．（7）【2016年山东，理7，5分】函数()3sincos3cossinfxxxxx的最小正周期是（）（A）2（B）（C）32（D）2【答案】B【解析】由()2sincos3cos22sin23fxxxxx，所以，最小正周期是，故选B．【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,mn满足143,cos,3mnmn，若ntmn则实数t的值为（）（A）4（B）4（C）94（D）94【答案】B【解析】因为21cos,4nmmnmnn，由ntmn，有20ntmntmnn，即2104tn，4t，故选B．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数()fx的定义域为R，当0x时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，1122fxfx，则6f（）（A）2（B）1（C）0（D）2【答案】D【解析】由1122fxfx，知当12x时，fx的周期为1，所以61ff．又当11x时，fxfx，所以11ff．于是3611112fff，故选D．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．（10）【2016年山东，理10，5分】若函数yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yfx具有T性质．下列函数具有T性质的是（）（A）sinyx（B）lnyx（C）xye（D）3yx【答案】A【解析】因为函数lnyx，xye的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3yx的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T性质，故选A．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i的值为．【答案】3【解析】i1时，执行循环体后1,8ab，ab不成立；i2时，执行循环体后3,6ab，ab不成立；i3时，执行循环体后6,3ab，ab成立；所以i3，故填3.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．3（12）【2016年山东，理12，5分】若521axx的展开式中5x的系数是80，则实数a．【答案】2【解析】由23222355551CC80axaxxx，得2a，所以应填2．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线2222:10,0xyEabab，若矩形ABCD的四个顶点在E上，,ABCD的中点为E的两个焦点，且23ABBC，则E的离心率为．【答案】2【解析】由题意BC2c，所以2AB3BC，于是点3,2cc在双曲线E上，代入方程，得2222914ccab，在由222abc得E的离心率为2cea．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出ABCD，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016年山东，理14，5分】在1,1上随机的取一个数k，则事件“直线ykx与圆2259xy相交”发生的概率为．【答案】34【解析】首先k的取值空间的长度为2，由直线ykx与圆22(5)9xy相交，得事件发生时k的取值空间为33,44，其长度为32，所以所求概率为33224．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数2,24,xxmfxxmxmxm，其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程fxb有三个不同的根，则m的取值范围是．【答案】3,【解析】因为224gxxmxm的对称轴为xm，所以xm时224fxxmxm单调递增，只要b大于224gxxmxm的最小值24mm时，关于x的方程fxb在xm时有一根；又hxx在xm，0m时，存在实数b，使方程fxb在xm时有两个根，只需0bm；故只需24mmm即可，解之，注意0m，得3m，故填3，．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24mmm是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，理16，12分】在ABC中，角,,ABC的对边分别为a,b,c，已知tantan2tantancoscosABABBA．（1）证明：2abc；（2）求cosC的最小值．解：（1）由tantan2tantancoscosABABBA得sinsinsin2coscoscoscoscoscosCABABABAB，2sinsinsinCBC，由正弦定理，得2abc．（2）由222222cos22ababcabcCabab222333111122222ccabab．所以cosC的最小值为12．4【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222abab的应用，不等式的性质．（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知,GH分别为,ECFB的中点，求证：//GH平面ABC；（2）已知123,2EFFBACABBC，求二面角FBCA的余弦值．解：（1）连结FC，取FC的中点M，连结,GMHM，因为//GMEF，EF在上底面内，GM不在上底面内，所以//GM上底面，所以//GM平面ABC；又因为//MHBC，BC平面ABC，MH平面ABC，所以//MH平面ABC；所以平面//GHM平面ABC，由GH平面GHM，所以//GH平面ABC．（2）连结OB，ABBCOAOB，以为O原点，分别以,,OAOBOO为,,xyz轴，建立空间直角坐标系．123,2EFFBACABBC，22()3OOBFBOFO，于是有23,0,0A，23,0,0C，0,23,0B，0,3,3F，可得平面FBC中的向量0,3,3BF，23,23,0CB，于是得平面FBC的一个法向量为13,3,1n，又平面ABC的一个法向量为20,0,1n，设二面角FBCA为，则121217cos77nnnn．二面角FBCA的余弦值为77．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列na的前n项和238nSnn，nb是等差数列，且1nnnabb．（1）求数列nb的通项公式；（2）令1(1)(2)nnnnnacb．求数列nc的前n项和nT．解：（1）因为数列na的前n项和238nSnn，所以111a，当2n时，221383(1)8(1)65nnnaSSnnnnn，又65nan对1n也成立，所以65nan．又因为nb是等差数列，设公差为d，则12nnnnabbbd．当1n时，1211bd；当2n时，2217bd，解得3d，所以数列nb的通项公式为312nnadbn．（2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)nnnnnnnnancnbn，于是23416292122(33)2nnTn，两边同乘以２，