八年级--动点求函数解析式

第1页（共31页）八年级--动点求函数解析式一．填空题（共1小题）1．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是腰长为5的等腰三角形时，AP的长度为．二．解答题（共16小题）2．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN．连接MN交AB于点P．（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论；（2）过点M作边AB的垂线，垂足为Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗？若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．3．如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．线段PQ的垂直平分线与直线BC、AD分别相交与点E、F点．（1）若E、F分别与B、D重合，求AP的长．（2）当E、F在边BC、AD上时，设AP=x，BE=y，求y与x的函数关系式及x取值范围；（3）是否存在这样的一点P，使△PQE为直角三角形？若存在，请求出AP的值，若不存在请说明理由．第2页（共31页）4．如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出AD的值．5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．（1）求证：PQ=BQ；（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当x为何值时，PR∥BC．第3页（共31页）6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△APQ，点C的对应点Q落在AB边上．连接BP，过点P作PH垂直于射线CA，垂足为H．（1）如图1，若点H与点A重合，求∠BPQ的度数；（2）如图2，若点H在CA边上（不与点A重合），BC=x，请用含x的代数式表示AH；（3）若∠APB=∠PAH，求AB的长．7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC，交线段CB的延长线于点Q．（1）当BP=BC时，求证：BQ=BP．（2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．第4页（共31页）8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，P是射线AB上的一个动点，PQ⊥PC，交线段CB的延长线于点Q．（1）当BP=BC时，求证：BQ=BP；（2）当点P在边AB上且∠A=30°时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当∠A=30°，且BP=时，请直接写出BQ的长．9．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AD=CD=4，∠B=45°，点E为直线DC上一点，连接AE，作EF⊥AE交直线CD于点F．（1）若点E为线段DC上一点（与点D、C不重合）．①求证：∠DAE=∠CEF；②求证：AE=EF；（2）连接AF，若△AEF的面积为，求线段CE的长（直接写出结果）．第5页（共31页）10．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线AC于E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD、CF、DF．（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．①直接写出y关于x的函数关系式及定义域；②求证：△CDF是等边三角形；（2）如果BE=2，请直接写出AD的长．第6页（共31页）12．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？13．如图所示，已知，在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E．点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线于点G．（1）求证：AF=FP．（2）设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．（3）若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长．第7页（共31页）14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．15．如图，已知△ABC是边长为5的等边三角形，△ACD△ABC以直线AC为对称轴翻折得到的．在射线BC上有动点P，作∠PAQ=60°，AQ交射线CD于点Q．（1）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD上时，请说明△APQ是等边三角形；（2）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD的延长线上时，△APQ是否仍是等边三角形？请说明理由；（3）当PD⊥AQ时，求出BP的长度．（不必写计算理由）．第8页（共31页）16．在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．17．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．第9页（共31页）八年级--动点求函数解析式参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2011春•沙坪坝区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是腰长为5的等腰三角形时，AP的长度为2或3或8．【解答】解：∵AD=10，点Q是BC的中点，∴BQ=BC=×10=5，①如图1，PQ=BQ=5时，过点P作PE⊥BC于E，根据勾股定理，QE===3，∴BE=BQ﹣QE=5﹣3=2，∴AP=BE=2；②如图2，BP=BQ=5时，过点P作PE⊥BC于E，根据勾股定理，BE===3，∴AP=BE=3；③如图3，PQ=BQ=5且△PBQ为钝角三角形时，BE=QE+BQ=3+5=8，AP=BE=8，综上所述，AP的长为2或3或8．故答案为：2或3或8．二．解答题（共16小题）第10页（共31页）2．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN．连接MN交AB于点P．（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论；（2）过点M作边AB的垂线，垂足为Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗？若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．【解答】（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，∵MD∥BC，∴∠MDP=∠NBP，∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵MD∥BC，∴∠ADM=∠ABC=45°，∴∠ADM=∠A，∴AM=DM．∵AM=BN，∴BN=DM，在△MDP和△NBP中，∴△MDP≌△NBP∴MP=NP；（2）（2）线段PQ的长能确定，理由：过点M作边AB的垂线，垂足为Q，过M作MD⊥AC交AB于D，∴△AMD也为等腰直角三角形，设DM=AM=BN=x，∴AD=x，∵MD⊥AC，BC⊥AC，∴DM∥CN，故由PM=PN得：BP=DP=BD，∵AB=a，BD=AB﹣AD=a﹣x，∴BP=BD=a﹣﹣x，∵MQ⊥AB，∴在等腰直角三角形AMD中，第11页（共31页）：DQ=AQ=AD=x，∴PQ=PD+DQ=a，∴线段PQ长度确定，与M、N的移动无关，长为a．3．（2014秋•黄浦区期末）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．线段PQ的垂直平分线与直线BC、AD分别相交与点E、F点．（1）若E、F分别与B、D重合，求AP的长．（2）当E、F在边BC、AD上时，设AP=x，BE=y，求y与x的函数关系式及x取值范围；（3）是否存在这样的一点P，使△PQE为直角三角形？若存在，请求出AP的值，若不存在请说明理由．【解答】解：（1）如图1，AP=x，则BP=8﹣x；∵BD垂直平分PQ；∴PB=BQ=8﹣xRt△BQC中（8﹣x）2=x2+62，解得：x=，则AP=；第12页（共31页）（2）连接EP、EQ∵EF垂直平分PQ；∴EP=EQ在Rt△PBE和Rt△QCE中（8﹣x）2+y2=x2+（6﹣y）2，则y=，∵0≤y≤6，∴≤x≤；（3）当E在BC边上，若△PQE为直角三角形，则只有∠PEQ=90°，∵∠PEQ=90°，∴∠PEB+∠QEC=90°，∵∠BPE+∠PEB=90°，∴∠BPE=∠QEC，在△PBE和△ECQ中∵，∴△PBE≌△ECQ（AAS），则BE=CQ=x=y，∵y=，∴解得：x=7，∵x=7不在定义域范围内，∴不存在，当E在边BC（或CB）延长线上时，△PQE每个角都小于90°，不可能为直角三角形，综上所述，这样的P点不存在．第13页（共31页）4．如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出AD的值．【解答】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD∴AE=AF．∴矩形AEGF是正方形．（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=2，DC=3∴BE=2，CF=3∴BG=x