高三数学-----任意性存在性恒成立专题

1任意性存在性恒成立专题知识总结(1)恒成立问题1.∀x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA；2.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)maxA.3.∀x∈D,均有f(x)g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)0∴F(x)min04.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0∴F(x)max﹤05.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)ming(x)max6.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)maxg(x)min(2)存在性问题1.∃x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x)maxA；2.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x)minA3.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)max04.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)∴F(x)min05.∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)min6.∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)max(3)相等问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}{g(x)}2.∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}I{g(x)}(4)恒成立与存在性的综合性问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)min2.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)max(5)恰成立问题1.若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.具体分析1、双存在性问题“存在),(1bax，存在),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的双存在性问题，存在),(1bax，存在),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值小.，即maxmin)()(xgxf.（见下图1）“存在),(1bax，存在),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值大，即minmax)()(xgxf.（见下图2）22、双任意性问题“任意),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的双任意性问题.任意),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba任意一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要小，即maxmin()()fxgx.“任意),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即)(xf在区间),(ba内任意一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要大,即minmax()()fxgx.3、存在任意性问题“存在),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的存在任意性问题.存在),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要小，即minmin)()(xgxf.（见下图3）“存在),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要大，即maxmax)()(xgxf.（见下图4）【方法讲评】题型一双存在性问题使用情景不等式中的两个自变量属性都是存在性的.解题理论存在),(1bax，存在),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的双存在性问题，存在),(1bax，存在),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值小，即maxmin)()(xgxf.“存在),(1bax，存在),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值大，即minmax)()(xgxf.3【例1】已知函数34ln0afxxaxax.（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）当1a时，设242xgxexa，若存在1x，2122x，，使12fxgx，求实数a的取值范围.（e为自然对数的底数，271828e）【反馈检测1】设函数2()()()xfxxaxbexR，（1）若1x是函数)(xf的一个极值点，试求出b关于a的关系式（用a表示b）,并确定)(xf的单调区间；（2）在（1）的条件下，设0a，函数42)14()(xeaxg，若存在]4,0[,21使得1|)()(|21gf成立，求a的取值范围.题型二双任意性问题使用情景不等式的两个自变量属性都是任意的.[来源:学|科|网Z|X|X|K]解题理论“任意),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的双任意性问题.任意),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba任意一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要小，即maxmin()()fxgx.“任意),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即)(xf在区间),(ba内任意一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要大,即minmax()()fxgx.【例2】已知函数lnfxx．若不等式mfxax对所有0,1m，21,xee都成立，求实数a的取值范围．【反馈检测2】已知函数，，，.（Ⅰ）讨论的单调性；4（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.题型三存在任意性使用情景不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的.解题理论“存在),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的存在任意性问题.存在),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要小，即minmin)()(xgxf.“存在),(1bax，对任意的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意一个函数值都要大，即maxmax)()(xgxf.【例3】已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.【反馈检测3】已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）已知，函数.若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.5答案【例1】已知函数34ln0afxxaxax.（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）当1a时，设242xgxexa，若存在1x，2122x，，使12fxgx，求实数a的取值范围.（e为自然对数的底数，271828e）当01a时，0，1240xxa，1230axxa12140aaxa,22140aaxa当10xx，时，0hx，fx单调递减，当12xxx，时，0hx，fx单调递增，当2xx，时，0hx，fx单调递减，所以当0a时，fx的减区间为304，，增区间34，.当1a时，fx的减区间为0，.当01a时，fx的减区间为2140aaa，，214aaa，6增区间为214214aaaaaa，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知fx在122，上的最大值为134ln2622fa，24xgxe，令0gx，得ln2x.1ln22x，时，0gx，gx单调递减，ln22x，，0gx，gx单调递增，所以gx在122，上的最小值为ln244ln22ga，由题意可知34ln2644ln222aa，解得4a,所以14a.【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.【反馈检测1】设函数2()()()xfxxaxbexR，（1）若1x是函数)(xf的一个极值点，试求出b关于a的关系式（用a表示b）,并确定)(xf的单调区间；（2）在（1）的条件下，设0a，函数42)14()(xeaxg，若存在]4,0[,21使得1|)()(|21gf成立，求a的取值范围.【例2】已知函数lnfxx．若不等式mfxax对所有0,1m，21,xee都成立，求实数a的取值范围．【解析】则lnamxx对所有的0,1m，21,xee都成立，令lnHxxmx，0,1m，21,xee是关于m的一次函数，因为21,xee，所以1ln2x7【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.学！科@网【反馈检测2】已知函数，，，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.【例3】已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.（1）当0a时，()1(0)hxxx，当(0,1),()0,()0xhxfx,函数()fx单调递减；当(1,),()0,()0xhxfx，函数()fx单调递增.(2)当0a时，由()0fx，即210axxa，解得1211,1xxa.当12a时12xx，()0hx恒成立，此时()0fx，函数()fx单调递减；当102a时，1110a，(0,1)x时()0,()0hxfx，函数()fx单调递减；1(1,1)xa时，()0,()0hxfx，函数()fx单调递增；81(1,)xa时，()0,()0hxfx，函数()fx单调递减.当0a时110a，当(0,1),()0,()0xhxfx