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新课导入生活中的相交直线生活中的相交直线有一个公共点的两条直线形成相交直线．相交线的定义●O1234知识要点二线四角图请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什么关系?两条相交直线形成的小于平角的角有几个?如图1所示，∠1与∠2有什么特点？∠1与∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线．2314ABCDO如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．图中互为邻补角的有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4．知识要点邻补角OCDAB1342判断两个角是不是邻补角：（1）有一个公共顶点；（2）有一条公共边．一对邻补角一定互补吗？一对互补的角一定是邻补角吗？图中，∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4，∠1和∠4都是邻补角，它们是相互的、成对出现的，如∠2是∠3的邻补角，∠1是∠4的邻补角，单独的一个∠1或单独的一个∠4都不能叫邻补角．OCDAB1342CA1OOCB4下列图中∠1、∠2还是邻补角吗？121212如图1所示，∠1与∠3有什么特点？∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边．2314ABCDO如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角．右图中互为对顶角的为：∠1与∠3；∠2与∠4．知识要点对顶角OCDAB1342判断两个角是不是对顶角：（1）两个角是由两条直线相交而形成的（由两条直线相交保证了所形成的角有公共顶点）；（2）两个角的两边无公共边．下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？211212对顶角是成对出现的．上图中，∠2和∠4它们是相互的，∠2是∠4的对顶角，∠4是∠2的对顶角，而单独的一个∠2或一个单独的∠4都不能叫对顶角．OCDAB1342OA2DOCB4两条直线相交，有____组对顶角．三条直线相交于一点，有____组对顶角．26四条直线相交于一点，有____组对顶角．ｎ条直线相交于一点，有_________组对顶角．12n（n－1）∠1与∠2互补，∠2与∠3互补∠1＝∠3（同角的补角相等）∠2＝∠4对顶角相等．OCDAB1342知识要点对顶角性质对顶角相等.例：如图所示，直线m，n相交，∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数．mn1234解：由邻补角的定义，可得：∠2＝180°－∠1＝180°－60°＝120°；由对顶相等，可得：∠3＝∠1＝60°，∠4＝∠2＝120°．角的名称特征性质相同点不同点对顶角邻补角对顶角相等邻补角互补②有公共顶点;③没有公共边①两条直线相交形成的角；①两条直线相交而成；②有公共顶点;③有一条公共边①都是两条直线相交而成的角；③都是成对出现的②都有一个公共顶点；②两直线相交时，对顶角只有两对邻补角有四对①有无公共边课堂小结（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶角．（）（2）两条直线相交，有两组对顶角．（）1．判断×√随堂练习2．如右图直线AB、CD交于点O，OP为射线，那么（）A．∠AOC和∠BOC是对顶角B．∠BOC和∠AOP是对顶角C．∠BOC和∠AOD是对顶角D．∠AOC和∠DOP是对顶角CDABOPC3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2＝（）A．60°B．100°C．120°D．140°12OabDCDABOP2．直线AB、CD交于点O，OP是∠BOC的平分线，已知∠AOC=54°．求∠BOP的度数．解：由邻补角的定义可得：∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－54°＝126°；因为OP平分∠BOC，所以∠BOP=∠AOD=×126°＝63°.1212生活中的垂线生活中的垂线当∠BOD＝90°时．∠AOD＝_______；∠AOC＝_______；∠BOC＝_______；BAODC此时我们说，AB与CD互相垂直．90°90°90°当∠BOD＝α°（α≠90°）时．∠AOD＝（180－α）°∠AOC＝（α）°∠BOC＝（180－α）°BAODC当α≠90°时，AB与CD不垂直，此时我们说AB与CD斜交．两条直线相交斜交垂直——相交的特殊情况┓当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直图中m与n互相垂直，其中，m叫n的垂线，n叫m的垂线，垂足为O．知识要点nmO┓用“⊥”和直线字母表示垂直垂直的表示：例如，如图，m、n互相垂直，垂足为O，则记为：m⊥n或n⊥m．若要强调垂足，则记为：a⊥b，垂足为O．nmO┓书写形式1：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O．因为∠AOD=90°（已知）所以AB⊥CD（垂直的定义）书写形式2：反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°．垂直的书写形式：因为AB⊥CD（已知）所以∠AOD=90°（垂直的定义）应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°ABCDO判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角．生活中常见的互相垂直的例子例2如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、∠EOF、∠COF的度数．解:因为AB⊥OE（已知）所以∠EOB=90°(垂直的定义)因为∠DOE=50°（已知）所以∠DOB=40°(互余的定义)所以∠AOC=∠DOB=40°（对顶角相等）又因为OB平分∠DOF所以∠BOF=∠DOB=40°（角平分线定义）所以∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+40°=130°所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°(邻补角定义)ACEBDOF如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°，求∠COE的度数．练一练ACEBDO135°垂线的定义定义图示文字语言几何语言两层含义当两条直线所成的四个角中有一个角是直角时,我们就说这两条直线互相垂直．直线AB垂直于直线CD，O为垂足．AB⊥CD，O为垂足．含义1：∵AB⊥CD∴∠1=90°含义2：∵∠1=90°∴AB⊥CD（垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”）1OABCD┓如图,CD⊥EF,∠1=∠2,则AB⊥EF．请说明理由（补全解答过程）90°⊥垂线的定义垂线的定义90°练一练解：∵CD⊥EF（已知）∴∠1=____()∵∠1=∠2=____∴AB___EF()EABCDF12EC1例：如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度数．解：因为OE⊥AB（已知）所以∠AOE=90°（垂线的定义）又因为∠AOC=∠BOD=45°（对顶角的性质）所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°=135°AOBCDE┓请用三角尺和量角器过点P画直线AB的垂线．PPABABOOPO为所求PO为所求画一画：如果点P在直线上呢？请作图．ABPOPO为所求垂线的的画法1．一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上；2．二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点；3．三画：沿着直角边经过已知点画直线．ABPAB短线和线段的垂线应怎么画？BAOO结合以上的作图．请你思考：在同一平面内．过一点可以作几条直线与已知直线垂直？ABPABP垂线的性质1：在同一平面内．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．知识要点OAB′C′BCD′D比较过直线m外一点O与m相交的所有线段中，哪一条最短？mOA最短垂线的性质2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短．即：垂线段最短．知识要点点到直线的距离直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离．左图中，线段AO的长度，就是点A到直线m的长度．┓mAO知识要点在体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的理由吗？将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成绩．理由是：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．┛如图所示．从A地走到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其它的曲折的路，这是为什么？垂线段最短．DACB如图，三角形ABC，从图中找出与线段AB、线段BC、线段AB垂直的线段，并指出三角形的三条边中，哪条边最长？例1如图．直线AB、CD相交于点O．OE⊥AB．∠1=55°．求∠EOD的度数．解:因为AB⊥OE（已知）所以∠EOB=90°(垂直的定义)因为∠BOD=∠1=55°（对顶角相等）所以∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+55°=145°ACEBDO1两直线相交斜交垂直定义性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段最短两线段垂直两射线垂直线段与射线垂直线段与直线垂直射线与直线垂直点到直线的距离课堂小结1．已知：如图AB⊥CD．垂足为O，EF为过点O的一条直线．则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角┓12Ｂ随堂练习2．下面四种判定两条直线的垂直的方法．正确的个数为（）①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角．则这两条直线互相垂直②两条直线相交．只要有一组邻补角相等．则这两条直线互相垂直③两条直线相交．所成的四个角相等．这两条直线互相垂直④两条直线相交．有一组对顶角互补．则这两条直线互相垂直A．5B．4C．3D．2B3．如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从Ａ村开往B村,Ｐ村不在路AB上．（1）如果有一人想在Ａ、Ｂ两村之间下车,前往P村,他在哪里下车走的路程最短？请画出图形,并说明原因．ABPO（2）汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越近？汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越远？┓答案：（1）在O点下车走的路程最短.原因：垂线段最短．（2）在AO路段上行驶时,与P村的距离越来越近,在OB路段上行驶时,与P村的距离越来越远．