高等数学应用题

第一章函数极限连续问题1.上岸点的问题有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1）222xyR内游泳，当他位于点（,02R）时，听到紧急集合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士兵水中游泳的速度为1v，陆地上跑步的速度为2v，求赶回营房所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。图1-1解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据本题特点可设(cos,sin)MRR其中为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()tf的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()tf的定义域为0。该士兵在水中游泳所花的时间为22211111(cos)sin54cos22PMRRtRRvvv而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：①当03时，有22254cosMARtvv；②当3时，要先跑一段圆弧MB，再跑一段且线段BA，所以2221()(3)3RtMBBAvv。综上所述，可得121254cos54cos,02354cos(3),233RRvvtRRvv问题2外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后BAOxyPMM他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。解：设1()ft为将x美元兑换成的加拿大元数，2()ft为将x加拿大元兑换成的美元数，则1()12%1.12,0ftxxxx2()12%0.88,0ftxxxx而21(())0.880.120.9856,fftxxx故1()ft，2()ft不互为反函数。思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4美元）问题3黄山旅游问题一个旅游者，某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明：设两个旅馆之间的路程为L，以()ft表示在时刻([7,19])t该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，则可知()ft是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)0f，(19)fL。以()gt表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()gt是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)fL，(19)0f。于是原问题可转化为：证明存在[7,19]，使()()fg。作辅助函数()()()tftgt，则()t在区间[7,19]上连续，且有2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0fgfgL，根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在[7,19]，使()0。就得到了所需要证明的结论。问题4利润与销量之间的函数关系收音机每台售价90元，成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元/台。1）把每台的实际售价p表示为订购量x的函数；2）把利润P表示成订购量x的函数；3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？解：1）当100x时售价为90元/台。现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台，90-75=15，150.01=1500所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为75元。当订购量在100~1600时，售价为90-（x-100）*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为90,10090(100)0.01,100160075,1600xpxxx2）每台利润是实际售价p与成本之差P=（p-60）x3）由1）先计算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知P=（81-60）*1000=21000（元）问题5Fibonacci数列与黄金分割问题“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?”解：这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之书”（又译《算盘书》（Liberabaci））中的一个题目。他是这样解答的：若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有：从上图可知，六月份共有兔子13对；还可看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可见一年后共有兔子233对。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。若设F0=1，F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，F5=8，F6=13，…则此数列应有下面的递推关系：Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，…）这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项1111515225nnnF是由法国数学家比内（Binet）求出的。与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限是151lim0.6182nnnFF（1）或者151lim1.6182nnnFF（2）下面我们先来说明（2）式的含义并证明之（至于（1）式的含义见后面的说明）。记1nnnFbF，则（nb-1）×100%就是第（n+1）月相对于第n月的兔子对数增长率（n=0，1，2，…），例如：010,1101nb021,111100%1nb032,110.550%2nb053,110.6666%3nb……若limnnb存在，则（limnnb-1）表示许多年后兔子对数的月增长率（同时也是成兔对数及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始算起，也是Fibonacci数列）。limnnb存在的证明及求法如下：证：01b111111(1,2,)nnnnnnnFFFbnFFb用数学归纳法容易证明：数列{2nb}是单调增加的；数列{21nb}是单调减少的。又，对一切30,22nnb成立。即数列{2nb}、{21nb}是有界的。根据“单调有界数列必有极限”的准则，知数列{2nb}、{21nb}的极限存在，分别记为*b与b*，即*2limnnbb，*21limnnbb分别对22111nnbb及21211nnbb的两边取极限，得**11bb与**11bb两式相减，得******bbbbbb由此得**0bb，即221limlimnnnnbb。若不然，则有**1bb而由***1bbb，得*0b这是不可能的（因为211nb）因此limnnb存在，记作b，即limnnbb对111nnbb的两边取极限，得11bb解此方程，得152b，因为1nb，故151.6182b即1limlim1.618nnnnnFbF从而lim10.618nnb可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。问题6巧分蛋糕妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示）。哥哥小明见了也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。你知道他用的是什么办法吗？分析：问题归结为如下一道几何证明题。已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围图形上任一点。求证：一定存在一条过P的直线。将这图形的面积二等分。证明：1.过P点认作一直线l，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为S1和S2。若S1=S2（此情况很难办到），则l即为所求；若S1S2，则不妨设S1S2(此时l与x轴的正向xl图1-2（4）0时S1和S200S1（0）S2（0）xlS2（）S1（）0图1-2（3）旋转成角lP图1-2（1）能切成相等的两块吗？图1-2（2）0时S1和S2PxlS2S10的夹角记为0，见图1-2（2）），下面对此情况证明之。2.以P点为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1和S2就连续地依赖角变化，记为1()S、2()S，并设12()()()fSS。如图1-2（3）所示。3.函数()f在00[,]上连续，且在端点异号：01020()()()0fSS010202010()()()()()0fSSSS（旋转1800后的情况如1-2（4））根据零点定理，必存在一点00(,)，使()0f，即使12()()SS。过P作直线，使之与x轴正向的夹角为，该直线即为所求。注：实际上小明只证明了这样的直线一定存在，究竟如何找到角还有待研究，留给大家思考！问题7第二章导数与微分问题1人在月球上能跳多高某人身高2米，在地面上可跳过与其身高相同的高度。假设他以同样的初速度在月球上跳，请问能跳多高？又，为了能在月球上跳过2米，他需要多大的初速度？解：在地面上跳高，就是克服地球引力把身体“抛”到高处。这里跳过了2米，是指把人体的重心提高到了2米。粗略地讲，人体的重心约在身高的一半偏上一点处，故，若把人体当作质点来看，则可视跳高为以初速0v把位于（身高12）处的一质点铅直上抛。为了求出所跳高度与时间t的函数关系，建立如图所示的坐标系。由dvgdt及0(0)vv得0()vtgtv（1）由()dxvtdt及1(0)212x得201()12xtgtvt（2）在月球上跳高的情况与此类似，不同的只是这里的g由月面上的重力加速度gm所代替，0(0)1xx()xxtxo若记月球上的速度与位置函数分别为vm、xm（因题设初速相同，故仍记月球上的初速为v0），则有0()mmvtgtv（3）201()12mmxtgtvt（4）由（4）式知，为求此人在月球上能跳多高，需分别求出初速0v及跳到最高处所需时间。现初速0v与地球上的相同，故可由（1）、（2）式求之：因跳到最高处时()0vt，故0vgt，于是0vtg。又，此人在地球上跳了2米高，故有200012()()12vvgvgg由此得2002,24.428/gvvgms（5）（于是此人在地面上跳到2米高所用时间为020.45vtsgg）再求在月面上以初速0v跳到最高处所用的时间tm：由（3）式及()0mvt，得0mmvgt，即2mmggt，由此可得2mmgtg将（5）、（6）两式代入（4）式，便有2221()2()129.8054117.3078()1.5545mmmmmggxgggggmg即，在月球上能跳过的高度约为7.3078米。用与上面完全类似的推导可以得出，在月球上跳2米高所需初速为21.763/mgms（见（5）式），所用时间为21.13msg。比较t=0.45s与t=1.