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专题15解析几何小题部分【训练目标】1、理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；2、掌握直线方程的5种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；3、识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；4、掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；5、掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。6、掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；7、掌握椭圆，双曲线的离心率求法；8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系；9、掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题求法；【温馨小提示】本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。【名校试题荟萃】1、设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论个数为()①|OA|·|OB|≥2；②直线AB过定点(1，0)；③O到直线AB的距离不大于1.A．0B．1C．2D．3【答案】C2、已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点(M在第一象限)，直线MO交双曲线左支于点Q(O为坐标原点)，连接QN.若∠MPO＝120°，∠MNQ＝150°，则该双曲线的渐近线方程为__。【答案】y＝±x.【解析】由题意可知：M，Q关于原点对称，∴kMN·kQN＝b2a2，∵kMN＝3，kQN＝33，∴b2a2＝1，渐近线方程为y＝±x.3、以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（）①曲线与曲线有相同的焦点；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过椭圆的右焦点作动直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长不为定值．④过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B4、设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由抛物线方程可知其焦点，依题意可设，∴,，∴，解得，∴，∴．5、双曲线上任意一点可向圆作切线，若存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C6、若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线和直线垂直，即,且直线过圆心，代入得.7、已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C（舍去），故取值范围为.8、若椭圆上有个不同的点，为右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆上的点到焦点的最大距离为，到右焦点最小距离为，即，所以，即，即，要使得，且最大，则，所以最大值为．9、已知,是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得,则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B10、如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A.B.4C.3D.23【答案】A【解析】因为，且的内切圆半径为，所以，所以，所以，因为图形的对称性可知，，所以，又因为，所以，所以双曲线的离心率为，故选A．11、已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C代入可得，即，所以，∴，，所以双曲线的实轴长为，双曲线的离心率．12、已知是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与的左支交于两点，若，且，则的离心率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,由双曲线的定义有,,又,所以都为直角三角形,由勾股定理有,代入有,解得,故离心率.13、已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是（）A.B.C.D.【答案】D在中：，整理计算可得：，在中：，即，计算可得：，所以.14、已知是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.四条线段【答案】B15、已知抛物线的焦点为，点与关于轴对称，点在抛物线上且，则的周长为_________.【答案】【解析】由题意，，，作垂直抛物线的准线，垂足为，记，则，故，即，，代入解析式中有，，所以的周长为.16、过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则的最小值等于______.【答案】17、已知是抛物线上的点,则的最大值是________.【答案】【解析】,表示抛物线上的一点到的距离与到准线的距离之差,如图所示,设抛物线的焦点为,因此,故,当且仅当,,三点共线时等号成立.18、若曲线与曲线由四个不同的交点，则实数的取值范围是________.【答案】当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，∴．则直线与圆相交时，.19、在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大是_________.【答案】【解析】圆的方程为：，即圆是以为圆心，为半径的圆；又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆与直线有公共点即可．设圆心到直线的距离为，则，即，∴，∴的最大值是．20、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为，圆心在上，若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为_________.【答案】21、已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为__________.【答案】【解析】设，则由点差法得.因此，因为离心率是，所以，从而.22、点在椭圆上运动，分别在两圆和上运动，则的最小值为___________.【答案】223、直线与椭圆:相交于,两点,与轴、轴分别相交于,两点,如果,是线段的两个三等分点,则直线的斜率为_________.【答案】【解析】由题意,设直线的方程为,,,则,,由方程组得,所以,由韦达定理,得,.由,是线段的两个三等分点,得线段的中点与线段的中点重合.所以,解得.24、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________.【答案】设，根据焦半径公式可得：，所以，代入抛物线方程，又，.根据勾股定理，，整理为，整理为，解得．25、已知双曲线的渐近线方程为,焦点为,若过双曲线上一点分别作两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成四边形,则四边形的面积为_________.【答案】【解析】由焦点为可设双曲线的标准方程为,则.又双曲线的渐近线方程为,所以,所以双曲线的标准方程为.过双曲线上一点分别作两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成四边形,则四边形为平行四边形,又两条渐近线互相垂直,所以为矩形,所以四边形的面积.设,则,即,所以.26、已知，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交直线于，则动点的轨迹方程为__________.【答案】27、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为__________.【答案】【解析】，由抛物线定义得，当时，，直线的方程为，与抛物线联立方程组可得，因此的面积为，对于，可得的面积为.28、已知斜率为的直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为_________.【答案】【解析】设，，则，即.29、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，若弦的中点分别为，则直线恒过定点________.【答案】30、如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________.【答案】