【高考总复习】压轴题冲刺一题多解之三角函数和解三角形

1题目1：求22sin10cos40sin10cos40的值.解法一：【拆角后，利用和角的余弦公式直接展开】因为40°＝30°＋10°，所以原式＝22sin10cos(3010)sin10cos(3010)2223131sin10(cos10sin10)sin10cos10sin1022222233(sin10cos10)44.解法二：【降次后，利用和差角的正余弦公式展开】原式＝1cos201cos80sin10cos4022cos(5030)cos(5030)1sin10cos402cos50cos30sin50sin30cos50cos30sin50sin301sin10cos4021sin50sin30sin10cos401cos40(sin30sin10)1cos40[sin(2010)sin(2010)]12cos40cos20sin102cos40cos20sin10cos101cos10sin8013114cos1044.一题多解之三角函数与解三角形2解法三：【代数换元法】令sin10,cos40,abab得111(sin10cos40)(sin10sin50)sin30cos20cos20,222113(sin10cos40)(sin10sin50)cos30sin(20)sin20,222ab则原式=222222333()()()()3cos20sin20444ababababab.解法四：【构造对偶式】设2222sin10cos40sin10cos40,cos10sin40cos10sin40xy，则11sin10cos40cos10sin402sin502cos40,111cos80cos20sin50cos40.222xyxy所以322x，故34x.解法五：【利用正余弦定理】由余弦定理，得2222cosababCc，又由正弦定理，得2sinsinsinabcRABC，于是2222224sin4sin22sin2sincos4sinRARBRARBCRC，得222sinsin2sinsincossinABABCC故22sin10cos40sin10cos4022sin10sin50sin10sin5022sin10sin502sin10sin50cos1202233sin120()24.3题目2：求：，,47121753)4cos(xx的值xxxtan1sin22sin2解法一：53)sin-cos224cos(xxx（）得523sincosxx，平方得2sincosxx=257，2)sin(cosxx25322571，,471217x,0sincosxx524-sincosxx，原式=－7528解法二：xxxxxxxxxtan1tan12sinsincossincoscossin2=)4tan2sinxx（,由已知得34-4tan(）x，257)4cos(21)22(cos2sinxxxx原式=－7528解法三：4)4(coscosxx=cos)4(xcos4－sin)4(xsin4=－102又,471217xsinx=－1027，tanx=7,原式=－7528供题人：【高中数学解题研究会339444963辽宁盘锦刘扬】题目3：（2015省调研测试卷16）在ABC中，内角ABC,,所对的边分别是abc,,．已知coscosaBbA，边BC上的中线长为4．(Ⅰ)若π6A，求c；(Ⅱ)求ABC面积的最大值．【考点】本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。(Ⅰ)由coscosaBbA及正弦定理得sincossincosABBA，所以sin()0AB，故π6BA，所以3ca，由余弦定理得22π16()2cos226aacc，解得8217c．(Ⅱ)【解法1】边化角由AB知2coscaA，及2216()2cos22aaccA，解得226418cosaA．所以ABC的面积22164sincossin2sin9cosAASacAAA．4由基本不等式得323S，当且仅当sin3cosAA时，等号成立．所以ABC面积的最大值为323．【解法2】角化边设225161114,CD,S2sinC,cos222ABCxCAxxxxCx则由余弦定理得,222224516111932064164324S21-=-()2221693233ABCxxxxx（）【解法3】坐标法如图建系，设(,0),(,0),C(0,),22ccABh则中点(,),42chD则中线长22293643162,(22,)16442342chchchADchwhenget所以116432S2233ABCch【解法4】割补法如图，G为ABC的重心，则8,3GA设,GAC1883232S6S6cossinsin2(,,=233334ABCAGOwhenget“”）【解法5】轨迹法由2CDCA，4AD，知C的轨迹为阿波罗尼斯圆，圆心在直线AD上，半径为83，则ABDC51832S2S24233ABCADO供题人：【高中数学解题研究会339444963浙江省湖州莫国良】题目4：)20(,cos52sincossin)(xxxxxxf，求函数)(xf的最大值________.解法一：xxxxxfsin52cossincos)(22，0cos52sinsincos4)(xxxxxf，所以函数xxxxxfsin52cossincos)(22在2,0为减函数，所以存在唯一实数2,00x使得0)(0xf且满足53cos,54sin00xx，所以)(xf在0,0x上为增函数，在2,0x上为减函数，所以2538)(maxxf解法二：2512cos56sin58)53)(cos54(sin)(xxxxxf2512cos56sin582cos56sin582xxxx2513cos53sin54xx2538当且仅当53cos,54sinxx时，不等式取等号。供题人：【高中数学解题研究会339444963安徽蚌埠吴迪】6题目5：如图，在ABC中，90BAC，点D为斜边BC上一点，且ACCD．（1）若2CDBD，求ADAC的值；（2）若2ADBD，求角B的正弦值．解：（1）解法一:依点A为原点，AB所在直线为x轴建系，可得2,33cbD．得63ADb，所以63ADAC．解法二：过点C作CEAD，交AD于点E，延长AD交AB于点M．依角平分线定理知2332AMACbMBBCb，所以2222355525AMABbbb，所以5tan5ACE，6sin6ACE．所以262sin3ADAEACEACAC．（2）解法一：【利用角度关系，使用正弦定理】22242BBDAB，在ABD中，sin242sin2BBDADB，而2sin12sin42BB，所以2sin242212sin42BB，所以102sin424B，所以sin5142sin222BB．解法二：【使用余弦定理】在ACD中，222222sinabbbB，因为sinbBa，所以3210bbaa，所以2110bbbaaa，所以51sin2bBa．解法三：【使用余弦定理】在ABD和ACD中使用余弦定理得22222222222222abababbabbbabab，DCBA7所以22ababb，所以220baab，所以210bbaa，所以51sin2bBa．解法四：因为2sin22abCb，所以2222sincos12sin2bCabaBCab所以3210bbaa，所以2110bbbaaa，所以51sin2bBa．【变式1】在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，23ABBD，2BCBD，则sinC．答案：66供题人：【高中数学解题研究会339444963山西临汾姚澎波】题目6：满足条件2,2ABACBC的ABC的面积的最大值是22解法一：如右图，以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设,Cxy，由2ABBC，得到点C的轨迹方程为2222121xyxy，即2238xy.轨迹上的点到AB的最远距离是22，所求面积为22.解法二：如图，过C作CDAB的延长线于D.设,BDtBCx，则222CDxt，又22222CDxt，由此可得244xt，从而22244288CDttt，max22CD解法三：设BCx，则2ACx，2222211124sin21cos2122222ABCxxSACBCCxxCxxx2211121281282244x8221221x212821282x供题人：【高中数学解题研究会339444963河南郑州高峰】题目7:在ABC中，60,3Bb，则2ca的最大值为____________.解法一：由余弦定理得2222cosbacacB即223acac设2act则2cta代入223acac整理得227530atat222528(3)0tt228t227ac解法二:由余弦定理得2222cosbacacB即223acac设2222(2)()()caacacxayc，由对应项系数相等得224124xyxy解之得4353283xy所以2222281(2)()(45)2833caacacac227ca解法三:有正弦定理得2sinsinsincabCAB所以222sin4sin2sin4sin()3caCACC4sin23cos27sin()27CCC其中3tan2当sin()1C时取最大值9题目8:在ABC中，2,2acb，则ABC面积S的最大值为____________.解法一：由余弦定理得2222cosabcbcA即251cos4Ab又21sinsin2SbcAbA所以2sinSAb所以222451()14Sbb