当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 管理学资料 > 【高考总复习】压轴题冲刺一题多解之三角函数和解三角形
1题目1:求22sin10cos40sin10cos40的值.解法一:【拆角后,利用和角的余弦公式直接展开】因为40°=30°+10°,所以原式=22sin10cos(3010)sin10cos(3010)2223131sin10(cos10sin10)sin10cos10sin1022222233(sin10cos10)44.解法二:【降次后,利用和差角的正余弦公式展开】原式=1cos201cos80sin10cos4022cos(5030)cos(5030)1sin10cos402cos50cos30sin50sin30cos50cos30sin50sin301sin10cos4021sin50sin30sin10cos401cos40(sin30sin10)1cos40[sin(2010)sin(2010)]12cos40cos20sin102cos40cos20sin10cos101cos10sin8013114cos1044.一题多解之三角函数与解三角形2解法三:【代数换元法】令sin10,cos40,abab得111(sin10cos40)(sin10sin50)sin30cos20cos20,222113(sin10cos40)(sin10sin50)cos30sin(20)sin20,222ab则原式=222222333()()()()3cos20sin20444ababababab.解法四:【构造对偶式】设2222sin10cos40sin10cos40,cos10sin40cos10sin40xy,则11sin10cos40cos10sin402sin502cos40,111cos80cos20sin50cos40.222xyxy所以322x,故34x.解法五:【利用正余弦定理】由余弦定理,得2222cosababCc,又由正弦定理,得2sinsinsinabcRABC,于是2222224sin4sin22sin2sincos4sinRARBRARBCRC,得222sinsin2sinsincossinABABCC故22sin10cos40sin10cos4022sin10sin50sin10sin5022sin10sin502sin10sin50cos1202233sin120()24.3题目2:求:,,47121753)4cos(xx的值xxxtan1sin22sin2解法一:53)sin-cos224cos(xxx()得523sincosxx,平方得2sincosxx=257,2)sin(cosxx25322571,,471217x,0sincosxx524-sincosxx,原式=-7528解法二:xxxxxxxxxtan1tan12sinsincossincoscossin2=)4tan2sinxx(,由已知得34-4tan()x,257)4cos(21)22(cos2sinxxxx原式=-7528解法三:4)4(coscosxx=cos)4(xcos4-sin)4(xsin4=-102又,471217xsinx=-1027,tanx=7,原式=-7528供题人:【高中数学解题研究会339444963辽宁盘锦刘扬】题目3:(2015省调研测试卷16)在ABC中,内角ABC,,所对的边分别是abc,,.已知coscosaBbA,边BC上的中线长为4.(Ⅰ)若π6A,求c;(Ⅱ)求ABC面积的最大值.【考点】本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。(Ⅰ)由coscosaBbA及正弦定理得sincossincosABBA,所以sin()0AB,故π6BA,所以3ca,由余弦定理得22π16()2cos226aacc,解得8217c.(Ⅱ)【解法1】边化角由AB知2coscaA,及2216()2cos22aaccA,解得226418cosaA.所以ABC的面积22164sincossin2sin9cosAASacAAA.4由基本不等式得323S,当且仅当sin3cosAA时,等号成立.所以ABC面积的最大值为323.【解法2】角化边设225161114,CD,S2sinC,cos222ABCxCAxxxxCx则由余弦定理得,222224516111932064164324S21-=-()2221693233ABCxxxxx()【解法3】坐标法如图建系,设(,0),(,0),C(0,),22ccABh则中点(,),42chD则中线长22293643162,(22,)16442342chchchADchwhenget所以116432S2233ABCch【解法4】割补法如图,G为ABC的重心,则8,3GA设,GAC1883232S6S6cossinsin2(,,=233334ABCAGOwhenget“”)【解法5】轨迹法由2CDCA,4AD,知C的轨迹为阿波罗尼斯圆,圆心在直线AD上,半径为83,则ABDC51832S2S24233ABCADO供题人:【高中数学解题研究会339444963浙江省湖州莫国良】题目4:)20(,cos52sincossin)(xxxxxxf,求函数)(xf的最大值________.解法一:xxxxxfsin52cossincos)(22,0cos52sinsincos4)(xxxxxf,所以函数xxxxxfsin52cossincos)(22在2,0为减函数,所以存在唯一实数2,00x使得0)(0xf且满足53cos,54sin00xx,所以)(xf在0,0x上为增函数,在2,0x上为减函数,所以2538)(maxxf解法二:2512cos56sin58)53)(cos54(sin)(xxxxxf2512cos56sin582cos56sin582xxxx2513cos53sin54xx2538当且仅当53cos,54sinxx时,不等式取等号。供题人:【高中数学解题研究会339444963安徽蚌埠吴迪】6题目5:如图,在ABC中,90BAC,点D为斜边BC上一点,且ACCD.(1)若2CDBD,求ADAC的值;(2)若2ADBD,求角B的正弦值.解:(1)解法一:依点A为原点,AB所在直线为x轴建系,可得2,33cbD.得63ADb,所以63ADAC.解法二:过点C作CEAD,交AD于点E,延长AD交AB于点M.依角平分线定理知2332AMACbMBBCb,所以2222355525AMABbbb,所以5tan5ACE,6sin6ACE.所以262sin3ADAEACEACAC.(2)解法一:【利用角度关系,使用正弦定理】22242BBDAB,在ABD中,sin242sin2BBDADB,而2sin12sin42BB,所以2sin242212sin42BB,所以102sin424B,所以sin5142sin222BB.解法二:【使用余弦定理】在ACD中,222222sinabbbB,因为sinbBa,所以3210bbaa,所以2110bbbaaa,所以51sin2bBa.解法三:【使用余弦定理】在ABD和ACD中使用余弦定理得22222222222222abababbabbbabab,DCBA7所以22ababb,所以220baab,所以210bbaa,所以51sin2bBa.解法四:因为2sin22abCb,所以2222sincos12sin2bCabaBCab所以3210bbaa,所以2110bbbaaa,所以51sin2bBa.【变式1】在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,23ABBD,2BCBD,则sinC.答案:66供题人:【高中数学解题研究会339444963山西临汾姚澎波】题目6:满足条件2,2ABACBC的ABC的面积的最大值是22解法一:如右图,以AB所在的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设,Cxy,由2ABBC,得到点C的轨迹方程为2222121xyxy,即2238xy.轨迹上的点到AB的最远距离是22,所求面积为22.解法二:如图,过C作CDAB的延长线于D.设,BDtBCx,则222CDxt,又22222CDxt,由此可得244xt,从而22244288CDttt,max22CD解法三:设BCx,则2ACx,2222211124sin21cos2122222ABCxxSACBCCxxCxxx2211121281282244x8221221x212821282x供题人:【高中数学解题研究会339444963河南郑州高峰】题目7:在ABC中,60,3Bb,则2ca的最大值为____________.解法一:由余弦定理得2222cosbacacB即223acac设2act则2cta代入223acac整理得227530atat222528(3)0tt228t227ac解法二:由余弦定理得2222cosbacacB即223acac设2222(2)()()caacacxayc,由对应项系数相等得224124xyxy解之得4353283xy所以2222281(2)()(45)2833caacacac227ca解法三:有正弦定理得2sinsinsincabCAB所以222sin4sin2sin4sin()3caCACC4sin23cos27sin()27CCC其中3tan2当sin()1C时取最大值9题目8:在ABC中,2,2acb,则ABC面积S的最大值为____________.解法一:由余弦定理得2222cosabcbcA即251cos4Ab又21sinsin2SbcAbA所以2sinSAb所以222451()14Sbb
本文标题:【高考总复习】压轴题冲刺一题多解之三角函数和解三角形
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