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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学集合与常用逻辑用语第一章第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络1题型归类2第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学题型归类第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用．通过复习，考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用．已知集合A＝{t|t使x2＋2tx－4t－3≥0}，集合B＝{t|t使x2＋2tx－2t＝0}，其中x，t均为实数．(1)求A∩B；(2)设m为实数，g(m)＝m2－3，求M＝{m|g(m)∈A∩B}．对集合的理解以及集合思想的应用第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学[思路分析]解答本题首先要弄懂集合概念，以便准确把握题意，集合A其实就是“求使不等式x2＋2tx－4t－3≥0恒成立的t的取值范围”，集合B就是“求使方程x2＋2tx－2t＝0有实根的t的取值范围”．至于集合M，则应先把问题转化为求函数定义域问题来解决．第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答](1)要使x2＋2tx－4t－3≥0恒成立，则只要使Δ1＝(2t)2－4(－4t－3)≤0，解得－3≤t≤－1，故集合A＝{t|－3≤t≤－1}．要使方程x2＋2tx－2t＝0有解，则只要使Δ2＝(2t)2－4·(－2t)≥0，解得t≥0或t≤－2，故集合B＝{t|t≥0或t≤－2}．所以A∩B＝{t|－3≤t≤－2}．(2)设g(m)＝u，则问题(2)可转化为：已知函数u＝g(m)的值域(u∈[－3，－2])，求其定义域．令－3≤m2－3≤－2，可解得－1≤m≤1，所以M＝{m|－1≤m≤1}.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学在解决一些集合问题时，求数集常用的方法为数轴法，取交、并集，如果是点集，常常通过画出函数的图像，观察图像的交点以及位置关系来解决问题．Venn图法在解决有限集之间的关系时也会经常用到．数形结合思想在集合问题中的应用第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问：对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？[思路分析]解答本题的关键是考生能由题目中的条件画出Venn图，形象地表示出各数量关系间的联系．第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]赞成A的人数为50×35＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，如图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋x3＋1＝50，解得x＝21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系，力求通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的逻辑关系．充要条件的理解与判定方法第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[思路分析](1)用集合的观点考查问题，先写出非p和非q，然后，由非q⇒非p，但非p⇒非q来求a的取值范围；(2)将非p是非q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解．第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝x|12≤x≤1，B＝{x|a≤x≤a＋1}．由非p是非q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴a≤12，a＋1≥1.解得0≤a≤12.故所求实数a的取值范围是0，12.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学[方法总结]在涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题，常常借助集合的观点来考虑．若涉及参数问题解决起来较为困难时，注意运用等价转化，转化后就比较好理解了.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力而设置的．关于逻辑用语的知识较为抽象，在高考命题中较少单独考查这一方面知识，更多会作为一种描述数学问题的语言出现．所以，结合实际问题对逻辑用语进行理解是掌握这方面知识的关键．逻辑用语在描述数学问题中的应用第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．[规范解答]“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题．(1)当p为真命题时，则Δ＝m2－40x1＋x2＝－m0x1x2＝10，得m－2；第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)当q为真命题时，则Δ＝16(m＋2)2－160，得－3m－1；综上，m的取值范围是m－1.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学1.集合关系转化A∩B＝B⇔B⊆A；A∪B＝B⇔A⊆B.2．借助数轴、Venn图解集合问题使解答直观、简捷．3．含参数的集合问题，常需分类讨论，或进行等价转化．利用集合关系，借助于数轴、Venn图求参数的值或参数的范围第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学由集合A＝{x|1ax2}，B＝{x|－1x1}，求满足A⊆B的实数a的范围．[规范解答]∵B＝{x|－1x1}．(1)当a＝0时，A＝∅，∴满足A⊆B.(2)当a0时，A＝x|1ax2a，∵A⊆B，由图知∴1a≥－12a≤1，∴a≥2.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学(3)当a0时，A＝x|2ax1a.∵A⊆B，由图知∴2a≥－11a≤1，∴a≤－2.综上可知：a＝0或a≥2或a≤－2.第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学一个命题的原命题与其逆否命题同真假；当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断它的逆否命题的真假，从而得知原命题的真假．等价转化思想在解题中的应用第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知p：x＋y≠3，q：x≠1或y≠2，则p是q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[思路分析]当条件用否定形式表达时，最好运用原命题和其逆否命题的同真同假性来求解，即p⇒q与非q⇒非p同真同假，q⇒p与非p⇒非q，同真同假．[规范解答]因为非p：x＋y＝3，非q：x＝1且y＝2，则非q⇒非p为真，非p⇒非q为假，所以p⇒q为真，q⇒p为假．所以p是q的充分而不必要条件．[答案]A第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学反证法是间接证明的一种基本方法，其基本内涵为：由证明p⇒q转向证明非q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非q为假，推出q为真的推证方法．反证法主要适用于结论本身是否定形式或含有“至多”、“至少”等词语的命题的证明．反证法第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学求证：一元二次方程至多有两个不同的根．[规范解答]假设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至少有三个不同的根，不妨设这三个根为x1，x2，x3.∴ax21＋bx1＋c＝0ax22＋bx2＋c＝0ax23＋bx3＋c＝0①②③①－②得a(x21－x22)＋b(x1－x2)＝0.由x1≠x2知a(x1＋x2)＋b＝0④第一章集合与常用逻辑用语走向高考·高考总复习·北师大版·数学同理②－③整理得，a(x2＋x3)＋b＝0⑤④－⑤得a(x1－x3)＝0.∵a≠0，∴x1－x3＝0，即x1＝x3，这与x1≠x3矛盾．这一矛盾说明假设不成立，∴原命题成立．即一元二次方程至多两个不同的根．[方法总结]用反证法证题，必须遵循三步：否定结论→推出矛盾→肯定结论．在否定结论时易出现错误，特别当命题中含有“或”“且”“至少几个”“至多几个”等词语时，一定考虑清楚后再去做题．