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第一章第二节一、选择题1．(文)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]本题考查充要条件．a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]本小题考查的内容是充分与必要条件的判定．若a＝1，则N＝{1}，∴N⊆M，反之不成立．2．(文)命题“若a－3，则a－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a－6，则a－3为假命题，则否命题也为假命题，故选B.(理)若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．不等价命题[答案]C[解析]因为命题p的逆命题是q，即命题q的逆命题是p，又p的否命题是r，所以命题q是命题r的逆否命题，故选C.3．(2013·天津高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切．其中真命题的序号是()A．①②③B．①②C．①③D．②③[答案]C[解析]统计知识与直线和圆的位置关系的判断．对于①，设球半径为R，则V＝43πR3，r＝12R，∴V1＝43π×(12R)3＝πR36＝18V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d＝22，故直线和圆相切，故①、③正确．4．(文)a0，b0的一个必要条件是()A．a＋b0B．a－b0C.ab1D.ab－1[答案]A[解析]由a0，b0可得a＋b0，所以a0，b0的一个必要条件是a＋b0，故选A.(理)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]考查平面向量平行的条件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.5．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④[答案]C[解析]写出相应命题并判定真假．①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b－1”为真命题；④“若A⊉B，则A∪B≠B”为假命题．6．(文)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]两直线垂直的充要条件是1－m＝0，即m＝1，故选C.(理)“sinα＝12”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]本题主要考查充要条件和三角公式．∵cos2α＝1－2sin2α＝12，∴sinα＝±12，∴sinα＝12⇒cos2α＝12，但cos2α＝12⇒sinα＝12，∴“sinα＝12”是“cos2α＝12”的充分而不必要条件．二、填空题7．(2015·本溪质检)在命题“若m－n，则m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．[答案]3[解析]原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2n2，则m－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题．8．若命题“ax2－2ax－30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．[答案][－3,0][解析]ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得a0Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a0，故－3≤a≤0.9．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，lα，m，l⃘β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件．[答案]充要[解析]由题意乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．三、解答题10．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．[解析](1)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m＝3，m＝9.∴这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴1－m≥－2，1＋m≤10，∴m≤3.综上可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.一、选择题1．(文)有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若ab，则2x·a2x·b”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．(理)下列命题中，假命题为()A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，C0n＋C1n＋…＋Cnn都是偶数[答案]B[解析]本题考查了命题的真假判断，选项A中，菱形满足条件，选项B中只需z1与z2的虚部互为相反数即可，故B错；选项C、D显然正确，故选B.2．(文)(2014·北京高考)设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]本题考查充分必要条件．ab⇒/a2b2，如a＝0，b＝－1；a2b2⇒/ab，如a＝－5，b＝3.举特例是解决充要条件的好方法．(理)(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列，则“q1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]对于等比数列{an}，若q1，则当a10时有{an}为递减数列．故“q1”不能推出“{an}为递增数列”．若{an}为递增数列，则{an}有可能满足a10且0q1，推不出q1.综上，“q1”为“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D.二、填空题3．(文)设集合A＝{x|xx－10}，B＝{x|x2－4x0}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．[答案]充分不必要[解析]若m∈A，则mm－10，∴0m1.若m∈B，则m2－4m0，即0m4.故“m∈A”是“m∈B”的充分条件．取m＝2，则mm－1＝2，于是mm－10不成立，所以m∈A不成立．故“m∈A”不是“m∈B”的必要条件．综上所述，“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．(理)对于下列四个结论：①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“a0，Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|0”的必要不充分条件．其中，正确结论的序号是________．[答案]①②④[解析]∵“A⇐B”，∴“非A⇒非B”，故①正确．“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件是a0，Δ＝b2－4ac≤0，故②正确．∵x≠1⇒x2≠1，例如x＝－1，故③错误．∵x＋|x|0⇒x≠0，但x≠0⇒x＋|x|0，例如x＝－1.故④正确．4．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，给出下列命题：①若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；②若a2－4b0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b0；④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b0；⑤若a2－4b0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．[答案]①③②④[解析]“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.三、解答题5．(文)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．[解析]因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝{m|m≤－1或m≥32}．假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有m∈U，x1＋x2≥0，x1x2≥0⇒m∈U4m≥0，2m＋6≥0⇒m≥32.又集合{m|m≥32}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．(理)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．(1)求证：“如果直线l过点(3,0)，那么OA→·OB→＝3”是真命题．(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析](1)设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.∴OA→·OB→＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA→·OB→＝3，则直线l过点(3,0)”它是假命题．设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，此时直线l过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．6．(文)求证：方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|3，这个条件充分吗？为什么？[解析]∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－a，x1x2＝1，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥53.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|3；但当a＝2时，x21＋x22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．(理)已知集合M＝{x|x－3或x5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求实数a的取值