北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-专题整合3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学导数及其应用第三章第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络1题型归类2第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学题型归类第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学研究函数问题要树立定义域优先的意识，否则解题中极易出错．切记函数的定义域导数是高中数学的重要内容之一，又是高中数学的重要工具，在高考中占有举足轻重的地位，可以说这部分内容掌握的好坏，直接决定着高考中数学科能不能取得高分．在解答与此知识点相关的问题时，要注意以下几个关键点：第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学(文)已知函数f(x)＝12x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x3的图像的下方．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答](1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值为12.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(e)＝12e2＋1.(3)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x＋2x2x，当x1时，F′(x)0，第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学故f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－160，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)0恒成立．即f(x)g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．[方法总结]注意函数的定义域为(0，＋∞)，如果不考虑定义域极易出错．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学(理)讨论函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的单调性．[思路分析]求出f(x)的导数后，解不等式即可．[规范解答]f(x)的定义域为－32，＋∞.f′(x)＝22x＋3＋2x＝4x2＋6x＋22x＋3＝22x＋1x＋12x＋3.当－32x－1时，f′(x)0；当－1x－12时，f′(x)0；当x－12时，f′(x)0.从而，f(x)分别在区间－32，－1，－12，＋∞上单调递增，在区间－1，－12上单调递减．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[方法总结]本题如果没有定义域优先的意识，单从f′(x)＝22x＋1x＋12x＋3来看，极易把单调减区间写成－∞，－32和－1，－12.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学清晰理解导数的定义从三个方面理解导数的定义：1．函数f(x)在某一点x0处的导数：f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学2．函数f(x)在开区间(a，b)内的导数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内可导，对于开区间(a，b)内的每一个x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样f(x)在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新的函数叫作f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx，导函数也简称为导数．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学3．导数的定义的等价形式．f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx的几种等价形式：f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0＝limh→0fx0＋h－fx0h＝limh→0fx0－fx0－hh等．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知函数f(x)中，f′(1)＝2，求limΔx→0f1－2Δx－f1Δx.[思路分析]当Δx→0时，－2Δx→0，只需将limΔx→0f1－2Δx－f1Δx变形为－2limΔx→0f1－2Δx－f1－2Δx，即可用导数的定义解决．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]limΔx→0f1－2Δx－f1Δx＝－2lim－2Δx→0f1＋－2Δx－f1－2Δx＝－2f′(1)＝－4.[方法总结]函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2Δx，12Δx等.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号．准确掌握f(x)取得极值的充要条件若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[思路分析](1)由f′(－1)＝0，f′(1)＝0，可得到关于a，b的方程，即可求出a，b的值．(2)先求g′(x)，再求g′(x)＝0的根，判断g′(x)在根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么这个根为g(x)的极大值点；如果“左负右正”，那么这个根为g(x)的极小值点；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则这个根不是g(x)的极值点．[规范解答](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋3a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x－2时，g′(x)0；当－2x1时，g′(x)0，故－2是g(x)的极值点．当－2x1或x1时，g′(x)0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[方法总结]f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还得f′(x)在x0两侧异号.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学1.在某个区间(a，b)上，若f′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，反之等号不成立．因为f′(x)≥0即f′(x)0或f′(x)＝0，当f′(x)0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f′(x)＝0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，反之等号不成立．3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．如y＝x＋cosx.全面把握函数单调性第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．[思路分析]只要f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，而只在一些离散的点处为0即可．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．[方法总结]本题仅在x＝3a2处f′(x)＝0.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学有些函数存在不可导点，如果不注意，将会发生错误．充分注意函数的不可导点已知a∈R，求函数f(x)＝x2|x－a|的极值点．[思路分析]这个函数有一个不可导点x＝a，而且这个点也是函数f(x)的极值点，在讨论函数的极值点时把它一起讨论，其余的极值点用导数去处理．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答](1)当a≠0时，f(x)＝x2|x－a|＝x3－ax2x≥aax2－x3xa，作出其草图如下，易知f(x)有两个(常规)极值点第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学x1＝0，x2＝2a3，有一个不可导点x＝a，而且这个点也是函数f(x)的极值点，借助于图像可知x＝0，x＝a是函数的极小值点，x＝2a3是函数的极大值点．(2)当a＝0时，f(x)＝x2|x|＝x3x≥0－x3x0，此时f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，x＝0为函数f(x)的极小值点，此时函数f(x)无极大值点．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[方法总结]函数在某点处有定义时，只要它在该点左右两侧有相反的单调性，这点就是该函数的极值点.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学求曲线的切线方程时，千万记住是曲线上某点处的切线(仅有一条)，还是过某点的切线(可能不只一条)已知函数f(x)＝－23x3＋x2＋4x，求过点(0,0)的曲线y＝f(x)的切线方程．[思路分析]先用求曲线上某点处切线方程的方法，写出曲线上点(x0，y0)处的切线方程，这条切线过点(0,0)，再确定x0，y0的值即可．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]f′(x)＝－2x2＋2x＋4，设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为－2x20＋2x0＋4，切线方程为y－－23x30＋x20＋4x0＝(－2x20＋2x0＋4)(x－x0)，切线过点(0,0)，所以－－23x30＋x20＋4x0＝(－2x20＋2x0＋4)(－x0)⇒4x30－3x20＝0⇒x0＝0或34.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学当x0＝0时，切线方程为y＝4x，当x0＝34时，切线方程为y＝358x.[方法总结]点(0,0)虽然也在曲线上，但并不是求仅在这点处的切线方程.第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学用导数解决与正整数n有关的问题时，不能直接对n求导证明对任意的正整数n，不等式ln(1n＋1)1n2－1n3都成立．[思路分析]由于n是正整数，故1n∈(0,1]，所证的不等式即1n3－1n2＋ln(1＋1n)0，构造函数f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)，只需证明它在(0,1]上大于0即可．第三章导数及其应用走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]令f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)，则f′(x)＝3x3＋x－12x＋1在(0,1]上恒正，∴f(x)在(0,1]上单调递增，当x∈(0,1]时，恒有f(x)f(0)＝0，即当