北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第4节

第三章第四节一、选择题1．设f(x)＝x2x≥02xx0，则－11f(x)dx的值是()A．－11x2dxB．－112xdxC．－10x2dx＋012xdxD．－102xdx＋01x2dx[答案]D[解析]由分段函数的积分公式知选D．2．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后第二个4s内经过的路程是()A．249mB．261.2mC．310.3mD．450m[答案]B[解析]所求路程为48(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)．3．若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1[答案]B[解析]S1＝12x2dx＝x33|21＝73.S2＝121xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.S3＝12exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)．∵e2.7，∴S33S1S2.故选B．4．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4[答案]D[解析]如图所示由y＝4x，y＝x3.解得x＝2，y＝8，或x＝－2，y＝－8.∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝02(4x－x3)dx＝(2x2－x44)|20＝8－4＝4.5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A．112B．14C．13D．712[答案]A[解析]由y＝x2y＝x3得交点坐标为(0,0)，(1,1)．因此所求图形面积为S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.6.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A．1πB．2πC．3πD．4π[答案]A[解析]由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝0πsinxdx＝－cosx|π0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是SS矩形OABC＝22π＝1π.二、填空题7.－43|x＋2|dx＝________.[答案]292[解析]原式＝－4－2(－x－2)dx＋－23(x＋2)dx＝292.8．(2014·皖南八校联考)－a0a2－x2dx＝________.[答案]πa24[解析]－a0a2－x2dx表示圆x2＋y2＝a2在第二象限的面积，为πa24.9．(2015·江西七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝nn＋11xdx(n∈N*)，则S100＝________.[答案]ln101[解析]依题意，an＝lnx|n＋1n＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.三、解答题10．求下列定积分：(1)01(x2－x)dx；(4)设f(x)＝x2，x≤0cosx－1，x0，求－11f(x)dx.[解析](1)01(x2－x)dx＝13x3－12x2|10＝－16.(3)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈－π2，π2∵f(x)在－π2，π2上为奇函数，(4)－11f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cosx－1)dx＝13x3|0－1＋(sinx－x)|10＝sin1－23.一、选择题1．与定积分03π1－cosxdx相等的是()A．203πsinx2dxB．203π|sinx2|dxC．|203πsinx2dx|D．以上结论都不对[答案]B[解析]∵1－cosx＝2sin2x2，∴03π1－cosxdx＝03π2|sinx2|dx＝203π|sinx2|dx.2．(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝()A．－1B．－13C．13D．1[答案]B[解析]本题考查定积分的求法．根据题设条件可得01f(x)dx＝－x33|10＝－13.二、填空题3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－11f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.[答案]－1或13[解析]－11f(x)dx＝－11(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4＝2f(a)．f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或13.4．(2015·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，x}(x≥0)，那么由函数y＝f(x)的图像、x轴、直线x＝12和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________．[答案]11924[解析]如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积.三、解答题5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋B．由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得a－b＋c＝2b＝0，即c＝2－ab＝0，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又01f(x)dx＝01[ax2＋(2－a)]dx＝[13ax3＋(2－a)x]|10＝2－23a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)．若直线l1，l2与函数f(x)的图像以及l2，y轴与函数f(x)的图像所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a，b，c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．[解析](1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则c＝0，a·82＋b·8＋c＝0，4ac－b24a＝16，解得a＝－1，b＝8，c＝0.(2)由(1)，得f(x)＝－x2＋8x，由y＝－t2＋8t，y＝－x2＋8x，得x2－8x－t(t－8)＝0，∴x1＝t，x2＝8－t.∵0≤t≤2，∴直线l2与f(x)的图像的交点坐标为(t，－t2＋8t)．由定积分的几何意义知：S(t)＝0t[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋t2[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx＝[(－t2＋8t)x－(－x33＋4x2)]|t0＋[(－x33＋4x2)－(－t2＋8t)x]|2t＝－43t3＋10t2－16t＋403.所以S(t)＝－43t3＋10t2－16t＋403(0≤t≤2)．