2020-2021学年江苏省无锡市高一(上)期末数学测试卷

第1页，共16页2020-2021学年江苏省无锡市高一（上）期末数学测试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={1,2}，𝐵={2,3}，则𝐴∪𝐵=()A.{2}B.{1,2，3}C.{1,3}D.{2,3}2.向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.(−2,−4)B.(2,4)C.(6,10)D.(−6.−10)3.已知扇形的面积为3𝜋8，半径是1，则扇形的圆心角是()A.3𝜋16B.3𝜋8C.3𝜋4D.3𝜋24.√3+tan15∘1−√3tan15∘=()A.2+√3B.1C.2−√3D.−15.将函数𝑦=cos(3𝑥+𝜋3)的图象向左平移𝜋18个单位后，得到的图象可能为()A.B.C.D.6.设向量𝑎⃗⃗=(−1,4)，𝑏⃗=(2,𝑥)，若(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)//(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)，则x等于()A.12B.2C.−2D.−87.已知函数𝑓(𝑥)=log2(1+𝑥)−log2(1−𝑥)，则𝑓(𝑥)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数第2页，共16页8.已知sin𝜑=35，且𝜑∈(𝜋2,𝜋)，函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于𝜋2，则𝑓(𝜋4)的值为()A.−35B.−45C.35D.459.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量𝑃𝑚𝑔/𝐿与时间th间的关系为𝑃=𝑃0𝑒−𝑘𝑡.若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为()小时．(已知𝑙𝑔2≈0.3010，𝑙𝑔3≈0.4771)A.26B.33C.36D.4210.设𝑥0是函数𝑓(𝑥)=𝑥2+log2𝑥的零点，若有0𝑎𝑥0，则𝑓(𝑎)的值满足()A.𝑓(𝑎)=0B.𝑓(𝑎)0C.𝑓(𝑎)0D.𝑓(𝑎)的符号不确定11.已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是()A.[0,2]B.[0,1]C.[1,2]D.[0,√3]12.设函数𝑓(𝑥)={2−𝑥,𝑥≤1,𝑥2,𝑥1，则𝑦=2𝑓(𝑓(𝑥))−𝑓(𝑥)的取值范围为()A.(−∞,0]B.[0,2√2−12]C.D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若偶函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑎+53的定义域为[3𝑎,𝑎2+2]，则实数a的值为________．14.已知𝑎⃗⃗=(−3,2)，𝑏⃗=(−1,0)，向量𝜆𝑎⃗⃗+𝑏⃗与𝑎⃗⃗−2𝑏⃗垂直，则实数𝜆=__________．15.计算(−25)0−√0.0643+lg2−lg15的结果是______．16.已知函数𝑓(𝑥)=lg(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑎)的定义域为R，且存在零点，则实数a的范围______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，且𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为120°．(1)求|3𝑎⃗⃗−2𝑏⃗|；(2)若(3𝑎⃗⃗−2𝑏⃗)⊥(𝑘𝑎⃗⃗+𝑏⃗)，求实数k的值．第3页，共16页18.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−12≤0}，𝐵={𝑥|2𝑚−1𝑥𝑚+1}．(1)若𝑚=−1，求𝐴∩(∁𝑅𝐵)；(2)若𝐴∪𝐵=𝐴，求实数m的取值范围．19.已知角𝛼的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点𝑃(3,1)，𝛼∈(0,𝜋)，𝛽∈(0,𝜋)，tan(𝛼−𝛽)=sin2(𝜋2−𝛼)+4cos2𝛼10cos2𝛼+cos(3𝜋2−2𝛼)(1)求tan(𝛼−𝛽)的值；(2)求tan𝛽的值．(3)求2𝛼−𝛽的值．20.已知𝑎⃗⃗=(√32,−32)，𝑏⃗(sin𝜋𝑥4,cos𝜋𝑥4)，𝑓(𝑥)=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗｡(1)求𝑓(𝑥)的单调递减区间｡第4页，共16页(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，求当𝑥∈[0,43]时，𝑦=𝑔(𝑥)的最大值｡21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎−24𝑥+1是定义在R上的奇函数．(1)求实数a的值；(2)求不等式𝑓(4𝑚−5)+𝑓(𝑚2−2𝑚+2)0的解集；(3)若关于x的方程𝑓(2𝑡−sin𝑥)+𝑓(−2𝑡cos2𝑥−3)=0有解，求实数t的取值范围．22.设函数𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−1|+𝑚，𝑔(𝑥)=ln𝑥．(1)当𝑚1时，求函数𝑦=𝑓(𝑥)在[0,𝑚]上的最大值；(2)设函数𝑝(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，若函数𝑝(𝑥)有零点，求实数m的取值范围．第5页，共16页答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵𝐴={1,2}，𝐵={2,3}，∴𝐴∪𝐵={1,2，3}．故选：B．由A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的减法及坐标运算，属于基础题．由向量的减法得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，代入坐标运算可得．【解答】解：向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)−(2,3)=(2,4)．故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积公式．直接代入公式计算即可．【解答】解：设扇形的圆心角是𝛼，则3𝜋8=12𝛼×12，解得𝛼=3𝜋4．故选C．4.【答案】A【解析】第6页，共16页【分析】本题考查两角和与差的正切公式，属于基础题．使用两角和与差的正切公式求出tan15°的值，代入原式即可求解．【解答】解：∵tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−√331+√33=3−√33+√3=2−√3，所以原式=√3+(2−√3)1−√3(2−√3)=24−2√3=12−√3=2+√3．故选A．5.【答案】A【解析】解：将函数𝑦=cos(3𝑥+𝜋3)的图象向左平移𝜋18个单位后，得到的函数解析式为：𝑦=cos[3(𝑥+𝜋18)+𝜋3]=−𝑠𝑖𝑛3𝑥，此函数过原点，为奇函数，排除C，D；原点在此函数的单调递减区间上，故排除B．故选：A．由函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换可得向左平移𝜋18个单位后，得到的函数解析式为：𝑦=−𝑠𝑖𝑛3𝑥，利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．6.【答案】D【解析】【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．【解答】解：∵向量𝑎⃗⃗=(−1,4)，𝑏⃗=(2,𝑥)，∴(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)=(1,4+𝑥)，∴(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=(−3,4−𝑥)，∵(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)//(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)，∴4−𝑥=−3(4+𝑥)，解得𝑥=−8，第7页，共16页故选：D．7.【答案】A【解析】解：由对数有意义可得{1+𝑥01−𝑥0，解得−1𝑥1，∴函数𝑓(𝑥)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，∵𝑓(−𝑥)=log2(1−𝑥)−log2(1+𝑥)=−𝑓(𝑥)，∴函数𝑓(𝑥)为奇函数故选：A由对数有意义可得函数的定义域，由函数的奇偶性定义可得．本题考查函数的奇偶性，属基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．由周期求出𝜔，由条件求出𝑐𝑜𝑠𝜑的值，从而求得𝑓(𝜋4)的值．【解答】解：根据函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于𝜋2，可得𝑇2=𝜋𝜔=𝜋2，∴𝜔=2．由𝑠𝑖𝑛𝜑=35，且𝜑∈(𝜋2,𝜋)，可得𝑐𝑜𝑠𝜑=−45，∴则𝑓(𝜋4)=sin(𝜋2+𝜑)=𝑐𝑜𝑠𝜑=−45，故选B．9.【答案】B【解析】【试题解析】解：由题意，前5个小时消除了10%的污染物，∵𝑃=𝑃0𝑒−𝑘𝑡，∴(1−10%)𝑃0=𝑃0𝑒−5𝑘，第8页，共16页∴𝑘=−15𝑙𝑛0.9；即𝑃=𝑃0𝑒𝑡5𝑙𝑛0.9，当𝑃=50%𝑃0时，有50%𝑃0=𝑃0𝑒𝑡5𝑙𝑛0.9∴𝑡5𝑙𝑛0.9=𝑙𝑛0.5∴𝑡=5𝑙𝑛0.5𝑙𝑛0.9=−5lg22lg3−1≈33即污染物减少50%需要花33h．故选B．先利用函数关系式，结合前5个小时消除了10%的污染物，求出k，当𝑃=50%𝑃0时，有50%𝑃0=𝑃0𝑒𝑡5𝑙𝑛0.9，即可得出结论．本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，是中档题．结合图象求解是解题的关键．【解答】解：由𝑓(𝑥)=𝑥2+log2𝑥=0得log2𝑥=−𝑥2，设函数𝑦=log2𝑥，𝑦=−𝑥2，在同一坐标系中分别作出两个函数的图象如图：由图象可知当0𝑎𝑥0时，log2𝑎−𝑎2，即log2𝑎+𝑎20，所以𝑓(𝑎)=𝑎2+log2𝑎0．故选C．第9页，共16页11.【答案】C【解析】解：以AB中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则𝐴(−1,0)，𝐵(1,0)，𝐶(0,√3)，𝐷(12,√32)，𝐸(−12,√32)，所以𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3)，设𝑃(𝑥,𝑦)，𝑥∈[−1,0]，则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥+1,𝑦)．由点P是线段AC上的动点，可得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝜆∈[0,1]，即(𝑥+1,𝑦)=𝜆(1,√3)，所以𝑃(𝑥,√3+√3𝑥)，𝑥∈[−1,0]，所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥−1,√3+√3𝑥)，所以𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=1−𝑥∈[1,2]．故选：C．画出图形，建立平面直角坐标系，由点P在线段AC上，求出点P的坐标，从而表示出𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，利用向量的数量积的表达式，转化求解范围即可．本题考查利用建系法求平面向量的数量积，属于基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分段函数求值域问题，解题的关键在于注意分类讨论，属于中档题．【解答】解：当𝑥∈(−∞,1]时，𝑓(𝑥)≥(12)1=12,当𝑥∈[1,+∞)时，𝑓(𝑥)≥12×1=12,第10页，共16页所以𝑓(𝑥)∈[12,+∞),当𝑓(𝑥)∈[12,1]时，𝑓(𝑓(𝑥))=(12)𝑓(𝑥)∈[12,√22],故𝑦=2𝑓(𝑓(𝑥))−𝑓(𝑥)∈[0,2√2−12],当𝑓(𝑥)∈[1,+∞)时，𝑓(𝑓(𝑥))=𝑓(𝑥)2,故𝑦=2𝑓(𝑓(𝑥))−𝑓(𝑥)=0,综上所述，𝑦=2𝑓(𝑓(𝑥))−𝑓(𝑥)∈[0,2√2−12],故选B．13.【答案】−1【解析】【分析】本题考查幂函数的性质，由偶函数定义域关于原点对称以及幂函数的奇偶性求得结果．【解答】解：∵𝑓(𝑥)是偶函数，∴𝑎2+2=−3𝑎，即𝑎2+3𝑎+2=0，解得𝑎=−1或𝑎=−2．当𝑎=−1时，𝑓(𝑥)=�