湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

试卷第1页，总5页湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设a为常数命题:0,1px，20xa，则p为真命题的充要条件是（）A．1aB．1aC．2aD．2a2．已知向量a与b的夹角是3，且||1a，||4b，若(3)aba，则实数的值为（）A．32B．32C．23D．233．已知2nxx的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（）A．－34B．－672C．84D．6724．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A．19B．827C．1627D．17815．已知是第四象限，且3cos5，则12cos24sin2（）A．25B．15C．25D．1456．已知抛物线1C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上．若点F到双曲线222:126xyC的一条渐近线的距离为2，则1C的标准方程是（）试卷第2页，总5页A．2833yxB．21633yxC．28xyD．216xy7．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mgmL．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mgmL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息（）（参考数据：lg20.301，130.477g）A．4．1小时B．4．2小时C．4．3小时D．4．4小时8．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．423B．1639C．16327D．32327二、多选题9．已知复数122zii，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为3iB．5zC．4z为纯虚数D．z在复平面上对应的点在第四象限10．已知函数sin0,0,0fxAxA在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12、712，图象在y轴上的截距为3．则下列结论正确的是（）试卷第3页，总5页A．fx的最小正周期为2B．fx的最大值为2C．fx在区间5,1212上单调递增D．6fx为偶函数11．设抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，()3,1E为定点，则下列结论正确的是（）A．准线l的方程是2xB．MEMF的最大值为2C．MEMF的最小值为5D．以线段MF为直径的圆与y轴相切12．已知函数2afxxx，则下列结论正确的是（）A．当1a时，fx无零点B．当1a时，fx只有一个零点C．当1a时，fx有两个零点D．若fx有两个零点1x，2x，则122xx三、填空题13．已知球O的表面积为16，点A，B，C在球O的球面上，且3AC，60ABC，则球心O到平面ABC的距离为________．14．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有___________种．15．设双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为F，点P在C的右支上，O为坐标原点，若存在点P，使PFOF，且1cos4OFP，则双曲线的离心率为___________．试卷第4页，总5页16．若过点,0Aa的任意一条直线都不与曲线:1xCyxe相切，则a的取值范围是________．四、解答题17．在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2sin3cAa．（1）求角C的大小；（2）若2b，7c，求ABC的面积．18．设数列na的前n项和为nS，已知14a，124nnSan，*nN．(1)求数列na的通项公式；(2)设122121nnnnab，数列nb的前n项和为nT，求满足1340nT的正整数n的最小值．19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA平面ABCD，3PA．点E在侧棱PC上（端点除外），平面ABE交PD于点F．（1）求证：四边形ABEF为直角梯形；（2）若2PFFD，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．20．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．垃圾量12.5,15.515.5,18.518.5,21.521.5,24.524.5,27.527.5,30.530.5,33.5频56912864试卷第5页，总5页数（1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值x；（2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布,27.04N，其中近似为50个样本社区的平均值x（精确到0.1吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X，求X的分布列和数学期望．附：若X服从正态分布2,N，则0.6826PX；220.9544PX；330.9974PX．21．如图，已知动圆M过点1,0E），且与圆22:18Fxy内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过圆心F的直线l交曲线C于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点P，使当直线l绕点F任意转动时，PAPB为定值？若存在，求出点P的坐标和PAPB的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数2ln1fxxxax，e为自然对数的底数．（1）当22ea时，讨论fx的单调性；（2）若对任意1x，都有0fx成立，求实数a的取值范围．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总17页参考答案1．C【分析】由命题p为真求得a取值范围即可.【详解】命题p为真当0,1x时，20xa能成立，即2xa能成立，所以max22xa，故选：C．【点晴】将能成立问题通过参数分离来求最值是解题的关键.2．B【分析】根据(3)aba，由(3)0aba求解.【详解】因为向量a与b的夹角是3，且||1a，||4b，所以2(3)3abaaab，314cos3203，解得32.故选：B3．B【分析】由二项式系数公式求得9n，再根据通项公式令x指数为0解出参数r然后代回公式求得常数项.【详解】由已知，2512n，则9n，所以93921992(2)rrrrrrrTCxCxx.令930r，得3r，所以常数项为3392884672C，故选：B．【点晴】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总17页方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.4．C【分析】先分析甲获得冠军的情况：3:0获胜，3:1获胜，然后根据n次独立重复试验的概率计算公式求解出“3:0获胜”、“3:1获胜”的概率，再根据互斥事件的概率计算方法求解出“在不超过4局的比赛中甲获得冠军”的概率.【详解】甲以3:0获胜为事件A，甲以3:1获胜为事件B，则A，B互斥，且328327PA，223212833327PBC，所以8816272727PAB，故选：C．【点睛】结论点睛：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，每次试验中A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为：1nkkknPXkCpp.5．A【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系即可得解.【详解】由已知得3cos5，4sin5，则原式21cos2sin22cos2sincos6822cos2sincoscos555，故选：A．6．D【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p，则抛物线方程可求.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总17页双曲线2C的渐近线方程是22026xy，即3yx.因为抛物线的焦点0,02pFp到渐近线30xy的距离为2，则2231p，即8p，所以1C的标准方程是216xy，故选：D．【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221xyab或22221yxab，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y关于x的一次方程即为渐近线方程.7．B【分析】由题意知经过x小时，血液中的酒精含量为y，则0.3125%0.30.75xxy，解不等式0.30.750.09x即可.【详解】设经过x小时，血液中的酒精含量为y，则0.3125%0.30.75xxy.由0.30.750.09x，得0.750.3x，则lg0.75lg0.3x.因为lg0.750，则lg0.3lg310.47715234.1844.2lg0.75lg3lg40.4770.602125x，所以开车前至少要休息4.2小时，故选：B．【点晴】关键点点晴：实际问题，关键是读懂题意抽象出具体函数.8．D【分析】取PB中点M，连结CM，得到AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总17页则CM⊥PB，求出VA﹣PBC22243xx，设t24x，（0＜t＜2），从而VA﹣PBC3823tt，（0＜t＜2），利用导数求出三棱锥P﹣ABC体积的最大值.【详解】解：如图，取PB中点M，连结CM，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，∴CM⊥PB，CM24x，解得2212442PBCSxxxx，所以VA﹣PBC2221244233xxxxx，设t24x，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，∴VA﹣PBC23248233tttt，（0＜t＜2），关于t求导，得2