2020年高考文科数学一轮总复习：参数方程

2020年高考文科数学一轮总复习第1页共13页2020年高考文科数学一轮总复习：参数方程第2讲参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y－y0＝k(x－x0)x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2x＝x0＋Rcosθy＝y0＋Rsinθ(θ为参数且0≤θ2π)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosty＝bsint(t为参数且0≤t2π)抛物线y2＝2px(p0)x＝2pt2y＝2pt(t为参数)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程y＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量．()2020年高考文科数学一轮总复习第2页共13页(3)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()答案：(1)√(2)√(3)×在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.已知点P是椭圆x24＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值．解：因为椭圆x24＋y2＝1的参数方程为错误!(φ为参数)，故可设点P的坐标为(2cosφ，sinφ)，又直线l：x＋2y＝0.因此点P到直线l的距离d＝|2cosφ＋2sinφ|12＋22＝22sinφ＋π45.又φ∈[0，2π)，所以dmax＝225＝2105，即点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值为2105.参数方程与普通方程的互化(师生共研)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常2020年高考文科数学一轮总复习第3页共13页见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．求直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数．解：将x＝2＋t，y＝－1－t消去参数t得直线x＋y－1＝0；将x＝3cosα，y＝3sinα消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝223.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．【解】(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos2020年高考文科数学一轮总复习第4页共13页α＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.(1)直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋t22；②|PM|＝|t0|＝t1＋t22；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[注意]在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．1．(2019·洛阳市尖子生第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝m＋2t，y＝2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝41＋sin2θ，且直线l经过曲线C的左焦点F.(1)求直线l的普通方程；(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ2＝41＋sin2θ，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得x24＋y22＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x24＋y22＝1，2020年高考文科数学一轮总复习第5页共13页于是c2＝a2－b2＝2，F(－2，0)．直线l的普通方程为x－y＝m，将F(－2，0)代入直线方程得m＝－2，所以直线l的普通方程为x－y＋2＝0.(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθ，2sinθ)0θπ2，所以椭圆C的内接矩形的周长为L＝2(4cosθ＋22sinθ)＝46sin(θ＋φ)(其中tanφ＝2)，所以椭圆C的内接矩形的周长L的最大值为46.2．(2019·长春质量检测(二))已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12，曲线C2的参数方程为x＝1＋tcosαy＝tsinα(t为参数)，α∈0，π2.(1)求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P(1，0)，当|PA|＋|PB|＝72时，求cosα的值．解：(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12得x24＋y23＝1，该曲线是椭圆．(2)将x＝1＋tcosαy＝tsinα代入x24＋y23＝1得t2(4－cos2α)＋6tcosα－9＝0，由直线参数方程的几何意义，设|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，t1＋t2＝－6cosα4－cos2α，t1t2＝－94－cos2α，所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝124－cos2α＝72，所以cos2α＝47，因为α∈(0，π2)，所以cosα＝277.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2019·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosαy＝2sinα(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6α≤π4)的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．【解】(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，2020年高考文科数学一轮总复习第6页共13页故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ，即ρ＝4cosθ.由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.(2)法一：射线l的极坐标方程为θ＝α，π6α≤π4，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cosα，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝sinαcos2α，所以|OA|·|OB|＝4cosα·sinαcos2α＝4tanα，因为π6α≤π4，所以|OA|·|OB|的取值范围是433，4.法二：射线l的参数方程为x＝tcosαy＝tsinα(t为参数，π6α≤π4)．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcosα＝0.解得t1＝0，t2＝4cosα.故|OA|＝|t2|＝4cosα.同理可得|OB|＝sinαcos2α，所以|OA|·|OB|＝4cosα·sinαcos2α＝4tanα，因为π6α≤π4，所以|OA|·|OB|的取值范围是433，4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝34sinπ6－θ，θ∈[0，2π]．(1)求曲线C1的一个参数方程．2020年高考文科数学一轮总复习第7页共13页(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．解：(1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0可知：x2＋y2－4x＋3＝0，所以(x－2)2＋y2＝1.令x－2＝cosα，y＝sinα；所以C1的一个参数方程为x＝2＋cosα，y＝sinα(α∈R)．(2)C2：4ρsinπ6cosθ－cosπ6sinθ＝3，所以412x－32y＝3，即2x－23y－3＝0，因为直线2x－23y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，所以圆心到直线的距离为d＝14，所以|AB|＝2·1－142＝2×154＝152.2．(2019·长春市质量检测(一))以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1，2)，点C的极坐标为