必修一函数题型归纳总结

函数1.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。【例2】（1）已知函数()fx，xF，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}xyyfxxFxyx中所含元素的个数有个.（2）若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝2.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。【例3】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2yx，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个3.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a，三角形中0A,最大角3，最小角3等。【例4】（1）函数24lg3xxyx的定义域是____（2）若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_______.（3）函数()fx的定义域是[,]ab，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是__________（4）（重要题型）设函数2()lg(21)fxaxx，①若()fx的定义域是R，求实数a的取值范围；②若()fx的值域是R，求实数a的取值范围。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：①若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出即可；②若已知[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于当[,]xab时，求()gx的值域（即()fx的定义域）。【例5】（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），【例6】（1）求函数225,[1,2]yxxx的值域:（2）当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是_（3）已知()3(24)xbfxx的图像过点（2,1），则1212()[()]()Fxfxfx的值域为______（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，【例7】（1）22sin3cos1yxx的值域为_____（2）211yxx的值域为_____（3）sincossincosyxxxx的值域为____（4）249yxx的值域为____（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，【例8】求函数2sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域?（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，【例9】求1(19)yxxx，229sin1sinyxx，532log1xyx的值域?（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，【例10】（1）已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围?（2）求函数22(2)(8)yxx的值域?（3）求函数2261345yxxxx及2261345yxxxx的值域?（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2bykx型，可直接用不等式性质，【例11】求232yx的值域?②2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，【例12】（1）求21xyx的值域（2）求函数23xyx的值域③22xmxnyxmxn型，通常用判别式法；【例13】已知函数2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为[0，2]，求常数,mn的值?④2xmxnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，【例14】求211xxyx的值域（7）不等式法――利用基本不等式：2(,)abababR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。【例15】设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是____________.5.分段函数：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()fx时，一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。【例17】（1）设函数2(1).(1)()41.(1)xxfxxx，则使得()1fx的自变量x的取值范围是__________（2）已知1(0)()1(0)xfxx　　　　，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是________7.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxaxbxc；顶点式：2()()fxaxmn；零点式：12()()()fxaxxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。【例18】已知()fx为二次函数，且)2()2(xfxf，且f(0)=1,图像在x轴上截得的线段长为22,求()fx的解析式?【一题多解】（2）代换（配凑）法――已知形如(())fgx的表达式，求()fx的表达式。【例19】（1）已知,sin)cos1(2xxf求2xf的解析式（2）若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_____（3）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=________（3）方程的思想――已知条件是含有()fx及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。【例20】（1）已知()2()32fxfxx，求()fx的解析式（2）已知()fx是奇函数，)(xg是偶函数，且()fx+)(xg=11x,则()fx=__8.函数的奇偶性。（1）【定义域优先原则】具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。【例27】若函数)(xf2sin(3)x，[25,3]x为奇函数，其中)2,0(，则的值是（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：【例28】判断函数2|4|49xyx的奇偶性____②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0fxfx或()1()fxfx（()0fx）。【例29】判断11()()212xfxx的奇偶性___.③图像法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称。（3）函数奇偶性的性质：【口诀：奇同偶异】①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.【例30】若定义在R上的偶函数()fx在(,0)上是减函数，且)31(f=2，则不等式2)(log81xf的解集为______.④若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必要条件。【例31】若22()21xxaafx·为奇函数，则实数a＝____⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。【例32】设)(xf是定义域为R的任一函数，()()()2fxfxFx，()()()2fxfxGx。①判断)(xF与)(xG的奇偶性；②若将函数)110lg()(xxf，表示成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh之和，则)(xg＝____⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx，请注意两者的区别所在。【例33】已知函数3()fxxax在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是____②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax0)b型函数的图像和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)bbaa；减区间为[,0),(0,]bbaa.【例34】（1）若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______（2）已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____（3）若函数log40,1aafxxaax且的值域为R，则实数a的取值范围是_____③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，【例35】函数212log2yxx的单调递增区间是________（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．【例36】若函数2()log(3)afxxax在区间(,]2a上为减函数，求a的取值范围（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.【例37】已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。11.常见的图像变换：①函数axfy)0(a的图像是把函数xfy的图像沿x轴向左平移a个单位得到的。【例38】设()2,()xfxgx的图像与()fx的图像关于直线yx对称，()hx的图像由()gx的图像向右平移1个单位得到，则()hx为__________②函数axfy()0(a的图像是把函数xfy的图像沿x轴向右平移a个单位得到的。【例39】（1）若2(199)443fxxx，则函数()fx的最小值为____（2）要得到)3lg(xy的图像，只需作xylg关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。（3）函数()lg(2)1fxxx的图像与x轴的交点个数有____个.③函数xfy+a)0(a的图像是把函数xfy助图像沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数xfy+a)