2020年广东高考数学测试题(理科)

2020年广东高考数学测试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟．（考试时间：2020年8月26日）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）＝P（A）+P（B）S＝4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）＝P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.334RV那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概其中R表示球的半径率knkknnPPCkP)1()(第I卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．设集合{|1Ax≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=A．［0,2］B．［1,2］C．［0,4］D．［1,4］2．已知niminmniim是虚数单位，则是实数，，，其中11A．1+2iB．1–2iC．2+iD．2–i3．已知0＜a＜1，loglog0aamn，则A．1＜n＜mB．1＜m＜nC．m＜n＜1D．n＜m＜14．若是第二象限的角，且2sin3，则cosA．13B．13C．53D．535．等差数列na中，12010S，那么29aa的值是A．12B．24C．16D．486．三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为A．300B．450C．600D．9007．已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是A．a=b,b=aB．a=c,b=a,c=bC．a=c,b=a,c=aD．c=a,a=b,b=c8．已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A．221(1)8yxxB．)1(1822xyxC．1822yx（x0）D．221(1)10yxx第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的5位数，其中奇数有个。10．二项式6)13(xx的展开式的常数项是__________.11．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为.12．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线xy5相切的直线方程是．13．圆C：xy1cossin，，（为参数）的普通方程为__________，设O为坐标原点，点M（xy00，）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________________。14．设函数)212,0)(sin()(xxf,给出以下四个论断：①()fx的周期为π；②()fx在区间（-6,0③()fx的图象关于点（3,0④()fx的图象关于直线12x对称.（只需将命题的序号填在横线上）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题满分14分）已知函数fxxx()33（I）证明：函数fx()是奇函数；（II）求fx()的单调区间。16．（本小题满分12分）已知|a|＝1，|b|＝2，（I）若a//b，求ab；（II）若a，b的夹角为135°，求|a＋b|．17．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。CADBOE18．（本小题满分14分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.19．（本小题满分14分）如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(Ⅰ)设点P分有向线段AB所成的比为λ，证明);QBQA(QP(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。20．（本小题满分12分）把正奇数数列{}21n中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1357911—————————设aijNij(*)，是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数。（I）若amn2005，求mn，的值；（II）已知函数fx()的反函数为fxxn138()()x0，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列{()}fbn的前n项和Sn。[参考答案]一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ACADBDDB二、填空题（每小题5分，共30分）9．36；10．–540；11．9π；12．16x-8y+25=0；13．xy1122)，()214122xy；14．①④②③或①③②④。三、解答题（共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题满分14分）解：（I）证明：显然fx()的定义域是R。设任意xR，fxxxxxfx()()()()()3333，4分函数fx()是奇函数6分（II）解：yx'332，8分令y'0，由3302x，解得11x10分由此可知，当11x时，y'0，所以函数fxxx()33的单调增区间是（-1，1）；12分当x1或x1时，y'0，所以函数fxxx()33的单调减区间分别是（，-1），（1，）14分（写出的区间，无论是否包含端点均可给分。）16．（本小题满分12分）（I）∵a//b，①若a，b共向，则ab＝|a|•|b|＝2…………………3′②若a，b异向，则ab＝－|a|•|b|＝－2………………6′（II）∵a，b的夹角为135°，∴ab＝|a|•|b|•cos135°＝－1……8′∴|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝1＋2－2＝1…………11′∴||1ab……………………………………12′17．（本小题满分14分）方法一：（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，121,1,222EMABOEDCOM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC2cos,4OEM异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4（III）解：设点E到平面ACD的距离为.h,11....33EACDACDEACDCDEVVhSAOS在ACD中，2,2,CACDAD2212722().222ACDSCADBOEABMDEOC而21331,2,242CDEAOS31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.7方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD.2cos,,4BACDBACDBACD异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量。又13(,,0),22EC点E到平面ACD的距离.321.77ECnhn18．（本小题满分14分）xCABODyzE（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为.7148154815CCCC故有一组恰有两支弱队的概率为.76711解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523CCCCCC（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率21481533482523CCCCCC解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为.2119．（本小题满分14分）解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为mkxy,代入抛物线方程yx42得.0442mkxx①设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。所以.421mxx由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得0121xx，即.21xx又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是（0，--m）,从而).2,0(mQP),(),(2211myxmyxQBQA=).)1(,(2121myyxx])1([2)(21myymQBQAQP=])1(44[221222121mxxxxxxm=2212144)(2xmxxxxm=221444)(2xmmxxm=0，所以).(QBQAOP(Ⅱ)由,0122,42yxyx得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。由yx42得241xy，1,2yx所以抛物线yx42在点A处切线的斜率为63xy。设圆C的方程是222)()(rbyax，则,3169.)4()4()9()6(2222abbaba解之得.2125)4()4(,223,23222barba所以圆C的方程是2125)223()23(22yx，20．（本小题满分12分）解：（I）三角形数表中前m行共有12312…mmm()个数，第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第mm()12项。故第m行最后一个数是212112mmmm()2分因此，使得amn2005的m是不等式mm212005的最小正整数解。由mm212005得mm220060mm118024217921218924445于是，第45行第一个数是44441219812n2005198121134分（II）fxxyxn1380()()，xyn()123。故fxxxn()()()12036分第n行最后一个数是nn21，且有n个数，若将nn21看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故bnnnnnnn()()()231122。fbnnnnn()()1212338分故Snnnnn1221231211212231()()()()()…1212212312112122341Snnnnn()()()()()()…，两式相减得：121212121212231Snnnn()()()()…10分12112112121121211[()]()()()nnnnnnSnnn2212()()12分