椭圆双曲线抛物线与圆相结合问题-高三数学备考练习

问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。2.垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理代人垂直的数量积坐标公式整理求解。3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、知识拓展以MN为直径的圆经过点P，则PMPN，可转化为0PMPN四、题型分析(一)圆与椭圆的结合点1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆E：22(1)1xy的圆心．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图,过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线,分别交y轴于点M、N．试推断是否存在点P,使14||3MN？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)由已知条件分别求出,ac的值,而222bac,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P满足题意,设点00(,)Pxy（00x）,(0,)Mm,(0,)Nn,利用条件求出直线PM方程,根据圆心(1,0)E到直线PM的距离为1,求出m与点P坐标之间的关系,同理求出n与点P坐标之间的关系,利用韦达定理求出,mnmn的表达式,算出MN,求出P点坐标.【解析】（1）设椭圆方程22221(0)xyabab,半焦距为c,因为椭圆的右焦点是圆E的圆心,则1c,因为椭圆的离心率为22,则22ca,即22ac,从而2221bac,故椭圆C的方程为2212xy．（2）设点00(,)Pxy（00x）,(0,)Mm,(0,)Nn,则直线PM的方程为00ymyxmx,即000()0ymxxymx,因为圆心(1,0)E到直线PM的距离为1,即002200||1()ymxmymx,即22200000()()2()ymxymxmym220xm,即2000(2)20xmymx,同理2000(2)20xnynx．由此可知,m,n为方程2000(2)20xxyxx的两个实根,所以0022ymnx,002xmnx,2||||()4MNmnmnmn20020044(2)2yxxx220002044(2)xyxx．因为点00(,)Pxy在椭圆C上,则220012xy,即220012xy,则2200022002842(2)4||(2)(2)xxxMNxx2042(2)x,令204142(2)3x,则20(2)9x,因为00x,则01x,220012xy12,即022y,故存在点2(1,)2P满足题设条件．【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．【小试牛刀】已知椭圆2222:10xyWabab的离心率为32,其左顶点A在圆22:16Oxy上.（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点,直线AP与圆O的另一个交点为Q,是否存在点P,使得3PQAP？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.【答案】（I）221164xy；（II）不存在,理由见解析.【解析】（I）因为椭圆W的左顶点A在圆22:16Oxy上,令0y,得4x,所以4a.又离心率为32,所以32cea,所以23c,所以2224bac.所以W的方程为221164xy.（II）设点11,Pxy,22,Qxy,设直线AP的方程为4ykx,与椭圆方程联立得2241164ykxxy,化简得到2222143264160kxkxk,因为-4为方程的一个根,所以21232414kxk,所以21241614kxk所以228114kAPk因为圆心到直线AP的距离为2414kdk,所以222168216211AQdkk.因为1PQAQAPAQAPAPAP,代入得到222222228143311131118114PQkkkAPkkkkk,显然23331k,所以不存在直线AP,使得3PQAP.1.2利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例2】已知椭圆C：2224xy.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线2y上,且OAOB,试判断直线AB与圆222xy的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆C：2224xy化为标准方程,确定2a,2b,利用ace求得离心率；（2）设点),(00yxA,)2,(tB,其中00x,由OBOA,即0OBOA,用0x、0y表示t,当tx0或tx0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线AB与圆222xy的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆C的标准方程为12422yx,所以42a,22b,从而224222bac,所以22ace.（2）直线AB与圆222yx相切,证明如下：设点),(00yxA,)2,(tB,其中00x,因为OBOA,所以0OBOA,即0200ytx,解得002xyt,当tx0时,220ty,代入椭圆C的方程得2t,此时直线AB与圆222yx相切.当tx0时,直线AB的方程为)(2200txtxyy,即02)()2(0000tyxytxxy,圆心到直线AB的距离为202000)()2(|2|txytyxd,又422020yx,002xyt,故22168|4|4|22|202040020202020200200xxxxxxyyxxyxd.故此直线AB与圆222yx相切.【小试牛刀】已知椭圆2222:10xyEabab过点0,2,且离心率22e．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线:1lxmymR交椭圆E于A,B两点,判断点94G,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222bcaabc,解得222abc,所以椭圆E的方程为22142xy．（2）设点11,Axy,22,Bxy,AB的中点为00,Hxy．由221142xmyxy,得222230mymy,所以12222myym,12232yym,从而022mym,所以222222200000095525144216GHxymyymymy,24AB2222121212144myyxxyy221212144myyyy220121myyy,故22201252514216ABGHmymyy22222231525172021622162mmmmmm,所以2ABGH．故点9,04G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11,Axy,22,Bxy,则119,4GAxy,229,4GBxy．由221142xmyxy,得222230mymy,所以12222myym,12232yym,从而12129944GAGBxxyy12125544mymyyy212125251416myymyy22225312522216mmmm221720162mm,所以cos,0GAGB．又GA,GB不共线,所以AGB为锐角．故点9,04G在以AB为直径的圆外．(二)圆与双曲线的结合点2.1利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t＝0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[，0）]；故选：A．【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.故选B2.2圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线12222byax的左右焦点分别为12FF、,O为双曲线的中心,P是双曲线右支上的点,21FPF的内切圆的圆心为I,且圆I与x轴相切于点A,过2F作直线PI的垂线,垂足为B,若e为双曲线的离心率,则()A.||||OAeOBB.||||OBeOAC.||||OAOBD.||OA与||OB关系不确定【答案】C【解析】设内切圆在1PF上的切点为N,2PF上的切点为M,12FF上的切点为A,A的坐标为(m,0),∴12112(DMMF)AFm(cm)2aPFPFPNNFAFc,即OAa,延长2BF交1PF于S,∵PB是角平分线和垂线,∴B是2SF的中点,O是12FF的中点,BO是中位线,11211(PFPF)a22BOFS,∴OAOBa,∴||||OAOB.【小试牛刀】已知点1F、2F为双曲线C：01222bbyx的左、右焦点,过2F作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,且3021FMF．圆O的方程是222byx．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为1P、2P,求21PPPP的值；（3）过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点,AB中点为M,求证：2ABOM．【解析】（1）设2,FM的坐标分别为220(1,0),(1,)bby因为点M在双曲线C上,所以220211ybb,即20yb,所以22MFb在21RtMFF