第四章-4.4.1-对数函数的概念

§4.4对数函数4．4.1对数函数的概念学习目标1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．知识点对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考函数y＝logπx，y＝log2x3是对数函数吗？答案y＝logπx是对数函数，y＝log2x3不是对数函数．1．由y＝logax，得x＝ay，所以x0.(√)2．y＝log2x2是对数函数．(×)3．若对数函数y＝logax，则a0且a≠1.(√)4．函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(×)一、对数函数的概念及应用例1(1)指出下列函数哪些是对数函数？①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1.解①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．②符合对数函数的结构形式，是对数函数．③自变量在底数位置上，不是对数函数．④对数式log2x后又加上1，不是对数函数．(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f132＝________.答案－5解析设对数函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点P(8,3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x，f132＝log2132＝log22－5＝－5.反思感悟判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.答案2解析由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a0且a≠1，所以a＝2.二、与对数函数有关的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x)＋1x－1；(3)y＝log(1－x)5.解(1)由3－x0，3＋x0，得－3x3，∴函数的定义域是(－3,3)．(2)由16－4x0，x－10，得4x16，x1，∴1x2.∴函数y＝log2(16－4x)＋1x－1的定义域为(1,2)．(3)依题意知1－x0，1－x≠1，得x1且x≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．反思感悟求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．解(1)要使函数有意义，需满足x－20，x－3≠0，解得x2且x≠3，所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足16－4x0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0或0x4，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．三、对数函数模型的应用例3某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解(1)由题意知y＝0.15x，0≤x≤10，1.5＋2log5x－9，x10.(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.∴老江的销售利润是34万元．反思感悟对数函数应用题的解题思路(1)依题意，找出或建立数学模型．(2)依实际情况确定解析式中的参数．(3)依题设数据解决数学问题．(4)得出结论．跟踪训练3某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为()A．300只B．400只C．500只D．600只答案A解析由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.1．下列函数是对数函数的是()A．y＝log2xB．y＝ln(x＋1)C．y＝logxeD．y＝logxx答案A2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]答案B3．对数函数的图象过点M(125,3)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log5xB．y＝15logxC．y＝13logxD．y＝log3x答案A解析设函数解析式为y＝logax(a0，且a≠1)．由于对数函数的图象过点M(125,3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.4．对数函数f(x)过点(9,2)，则f13＝________.答案－1解析设f(x)＝logax(a0且a≠1)，loga9＝2，∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)，∴f(x)＝log3x，∴f13＝log313＝－1.5．函数y＝ln(3－x)＋x－1的定义域为________．答案[1,3)解析由3－x0，x－1≥0，解得1≤x3，则函数的定义域为[1,3)．1．知识清单：(1)对数函数的概念和定义域．(2)对数函数模型的简单应用．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．1．给出下列函数：①y＝223logx；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logex.其中是对数函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A．{x|x－1}B．{x|x1}C．{x|－1x1}D．∅答案C解析∵M＝{x|1－x0}＝{x|x1}，N＝{x|1＋x0}＝{x|x－1}，∴M∩N＝{x|－1x1}．3．与函数y＝10lg(x－1)相等的函数是()A．y＝x－1x－12B．y＝|x－1|C．y＝x－1D．y＝x2－1x＋1答案A解析y＝10lg(x－1)＝x－1(x1)，而y＝x－1x－12＝x－1(x1)．4．函数y＝1log2x－2的定义域为()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞)答案C解析要使函数有意义，则x－20，log2x－2≠0，解得x2且x≠3.5．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))的值为()A．lg101B．1C．2D．0答案C解析f(f(10))＝f(lg10)＝f(1)＝12＋1＝2.6．函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________.答案3解析依题意有a2－2a－3＝0，a0，a≠1，解得a＝3.7．函数y＝12log3xa的定义域是23，＋∞，则a＝________.答案2解析由y＝12log3xa知，3x－a0，即xa3.∴a3＝23，即a＝2.8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．答案128解析由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128.9．求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(3x－1)5；(3)y＝ln4－xx－3.解(1)要使函数式有意义，需1－x0，解得x1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x1}．(2)要使函数式有意义，需3x－10，3x－1≠1，解得x13，且x≠23，所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是xx13，且x≠23.(3)要使函数式有意义，需4－x0，x－3≠0，解得x4，且x≠3，所以函数y＝ln4－xx－3的定义域是{x|x4，且x≠3}．10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解(1)M＝lgA－lgA0＝lgAA0＝lg200.002＝lg104＝4.即这次地震的震级为4级．(2)由题意得5＝lgA5－lgA0，8＝lgA8－lgA0，所以lgA8－lgA5＝3，即lgA8A5＝3.所以A8A5＝103＝1000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．11．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]答案B解析由x≥0，1－x0，得0≤x1.12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．720只答案D解析将x＝1，y＝180代入y＝alog2(x＋1)得，180＝alog2(1＋1)，解得a＝180，所以x＝15时，y＝180log2(15＋1)＝720.13．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.答案1解析由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋10，且a＋1≠1，所以a＝1.14．函数f(x)＝lg2kx2－kx＋38的定义域为R，则实数k的取值范围是________．答案[0,3)解析依题意，2kx2－kx＋380的解集为R，即不等式2kx2－kx＋380恒成立，当k＝0时，380恒成立，∴k＝0满足条件．当k≠0时，则k0，Δ＝k2－4×2k×380，解得0k3.综上，k的取值范围是[0,3)．15．函数f(x)＝log(x－1)(3－x)的定义域为()A．(1,2)B．(2,3)C．(1,2)∪(2,3)D．(1,3)答案C解析由题意知3－x0，x－10，x－1≠1，解得1x3，且x≠2，故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．16．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．解∵a0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax0恒成立．∴3－2a0，∴a32.又a0且a≠1，∴0a1或1a32，∴实数a的取值范围为(0,1)∪1，32.