三角恒等变换经典例题

1三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）sincoscossin)sin(sincocossin)sin(s(2）sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos((3）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(4）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(7)sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)ab所在的象限决定,2222sin,cos,tanbabaabab，该法也叫合一变形).(8))4tan(tan1tan1)4tan(tan1tan12.二倍角公式（1）aaacossin22sin（2）1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa（3）aaa2tan1tan22tan3.降幂公式：（1）22cos1cos2aa（2）22cos1sin2aa4.升幂公式（1）2cos2cos12（2）2sin2cos12（3）2)2cos2(sinsin1（4）22cossin1（5）2cos2sin2sin5.半角公式（符号的选择由2所在的象限确定）（1）2cos12sinaa，（2）2cos12cosaa，（3）aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan6.万能公式:（1）2tan12tan2sin2,（2）2tan12tan1cos22,（3）.2tan12tan2tan27，辅角公式)sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa，比如：xxycos3sin)cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx)cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x10.常见数据：6262sin15cos75,sin75cos1544，3215tan,3275tan,专题四三角恒等变形各类题命题点1和差公式的直接应用1．(2015课标1,2)0000sin20cos10cos160sin10（）3.2A3.2B1.2C1.2D22．（2017江苏，5）若1tan()46，则tan=_____________.3．(2016·杭州模拟)已知sinα＝35，α∈(π2，π)，则cos2α2sinα＋π4＝________.4．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－125．(2016·全国丙卷)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C．1D.16256．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sinθ－cosθ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ等于()A.23B.43C.34D.327．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin25，3cos25，则属于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限命题点2角的变换8．设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ等于()A.2525B.255C.2525或255D.55或5259．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．11．(2016·浙江五校联考)已知3tanα2＋tan2α2＝1，sinβ＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于()A.43B．－43C．－23D．－3命题点3三角函数式的化简12．（2013重庆，9）004cos50tan40（）.2A23.2B.3C22113．化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；化简4cos2sin2214．求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．15．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sinπ＋α2－cosπ＋α2sinπ－α2－cosπ－α2等于A.12B．－12C．2D．－2命题点4给值求值问题17．（2017课标全国3文，4）已知4sincos3，则sin2（）7.9A2.9B2.9C7.9D18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，则cosβ＝________.19．（2013浙江，6）已知R，10sin2cos2,则tan2（）4.3A3.4B3.4C4.3D20．（2014江苏，15）已知(,)2，5sin53（1）求sin()4的值；（2）求5cos(2)6的值。21．(2015·广东)已知tanα＝2.①求tan(α＋π4)的值；②求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．命题点5给值求角问题22．设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π423．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．24．（2014课标1,8）设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则（）.32A.32B.22C.22D25．(2016·义乌检测)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是()A.7π4B.5π4C.5π4或7π4D.3π2命题点6三角恒等变换的应用26．(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．27．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．堂测题组专题四三角恒等变形【A】1．(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－32B.32C．－12D.122．(2016·全国甲卷)若cosπ4－α＝35，则sin2α等于()A.725B.15C．－15D．－7253．(2016·富阳模拟)已知tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．64．已知：434，，04，，且cossin435541213，，则cos=_______.专题四三角恒等变形【B】1．(2016·东北三省三校联考)已知sinα＋cosα＝13，则sin2(π4－α)等于()A.118B.1718C.89D.2942．(2016·绍兴高三教学质检)已知sin(π5－α)＝13，则cos(2α＋3π5)等于()A．－79B．－19C.19D.793．(2017·浙江九校联考)已知锐角α，β满足sinα－cosα＝16，tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，则α，β的大小关系是()A．απ4βB．βπ4αC.π4αβD.π4βα4．0002cos10sin20sin70的值是（）A.12B.32C.2D.3巩固作业专题四三角恒等变形1．(2017浙江ZDB联盟一模)已知1sin3，0，则tan__________，sincos22__________．2．已知0απ2，sinα＝45，tan(α－β)＝－13，则tanβ＝________；sin2β－π2·sinβ＋π2cosβ＋π4＝________.3．(2016·合肥质检)已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2)．(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．4．(2017浙江温州二模)已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.5.已知函数).,(2cos)62sin()62sin()(为常数aRaaxxxxf（1）求函数的最小正周期；（2）若.,2)(,]2,0[的值求的最小值为时axfx6．已知函数xxxxfcossinsin3)(2（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）求函数32,245)(xxf在的值域.（3）对称轴和对称点5第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为()A.14B．－14C.34D．－342．若sin2α＝14，π4απ2，则cosα－sinα的值是()A.32B．－32C.34D．－343．已知180°α270°，且sin(270°＋α)＝45，则tanα2＝()A．3B．2C．－2D．－34．在△ABC中，∠A＝15°，则3sinA－cos(B＋C)的值为()A.2B.22C.32D.25．已知tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ等于()A．－65B．－45C.45D.656．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．cabB．bcaC．abcD．bac8．三角形ABC中，若∠C90°，则tanA·tanB与1的大小关系为()A．tanA·tanB1B.tanA·tanB1C．tanA·tanB＝1D．不能确定9．函数f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是()A．[－2,2]B.1＋22，2C.1－22，1＋22D.－12，3211.2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.212．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cosα的值为()A.5665B.1665C.5665或1665D．以上都不对二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.14．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________,15.sinα＋30°＋cosα＋60°2cosα＝________.16．关于函数f(x)＝cos(2x－π3)＋cos(2x＋π6)，则下列命题：①y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)最小正周期是π；③y＝f(x)在区间π24，13π24上