新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.1对数的概念讲义新人教A版必修第一册

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.1对数的概念讲义新人教A版必修第一册4．3.1对数的概念知识点对数1．对数的概念(1)定义如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.(2)相关概念①底数与真数其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.71828…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为lnN.状元随笔logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数与指数间的关系当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质性质1零和负数没有对数性质21的对数是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1)性质3底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1)状元随笔指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称axN指数式ax＝N底数指数幂对数式x＝logaN底数对数真数[教材解难]对数式与指数式的关系(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式ax＝N和对数式x＝logaN，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式．[基础自测]1．把指数式ab＝N化为对数式是()A．logba＝NB．logaN＝bC．logNb＝aD．logNa＝b解析：根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.答案：B2．把对数式loga49＝2写成指数式为()A．a49＝2B．2a＝49C．492＝aD．a2＝49解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.答案：D3．已知logx16＝2，则x等于()A．±4B．4C．256D．2解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，又x＞0且x≠1，所以x＝4.答案：B4．下列各式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④由log25x＝12，得x＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)解析：因为lg10＝1，所以lg(lg10)＝lg1＝0，①正确；因为lne＝1，所以lg(lne)＝lg1＝0，②正确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；由log25x＝12，得x＝2512＝5，④错误．答案：①②题型一指数式与对数式互化[教材P122例1]例1把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：利用ab＝N⇔logaN＝b(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)13m＝5.73;(4)log1216＝－4；(5)lg0.01＝－2;(6)ln10＝2.303.【解析】(1)log5625＝4；(2)log2164＝－6；(3)log135.73＝m；(4)12－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10.教材反思指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1将下列指数式与对数式互化：(1)25＝32;(2)12－2＝4；(3)log381＝4;(4)log134＝m.解析：(1)log232＝5；(2)log124＝－2；(3)34＝81；(4)13m＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．题型二对数基本性质的应用例2求下列各式中的x的值．利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(3＋1)23－1＝x.【解析】(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)23－1＝23＋12＝3＋1，所以log(3＋1)23－1＝log(3＋1)(3＋1)＝1，所以x＝1.方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值．题型三对数恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3求下列各式的值：(1)22log3＋33log2；(2)22＋log213；(3)101＋lg2；(4)e－1＋ln3.【解析】(1)因为22log3＝3,33log2＝2，所以原式＝3＋2＝5.(2)原式＝22×221log3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg2＝10×2＝20.(4)原式＝e－1×eln3＝1e×3＝3e.化成alogaN＝N形式，再求值．方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alogaN的形式．跟踪训练3计算：(1)931log42＝________；(2)1331log2－＋＝________.解析：(1)931log42＝(912)3log4＝33log4＝4.(2)原式＝13－1×133log2＝3×(3－1)3log2＝3×(33log2)－1＝3×2－1＝32.答案：(1)4(2)32不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．一、选择题1．对于下列说法：(1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以10为底的对数叫做自然对数；(4)以e为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：只有符合a＞0，且a≠1，N＞0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．答案：C2．将13－2＝9写成对数式，正确的是()A．log913＝－2B．log139＝－2C．log13(－2)＝9D．log9(－2)＝13解析：根据对数的定义，得log139＝－2，故选B.答案：B3．若loga2b＝c则()A．a2b＝cB．a2c＝bC．bc＝2aD．c2a＝b解析：loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.答案：B4．33log4－2723－lg0.01＋lne3等于()A．14B．0C．1D．6解析：33log4－2723－lg0.01＋lne3＝4－3272－lg1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.答案：B二、填空题5．求下列各式的值：(1)log636＝________.(2)lne3＝________.(3)log50.2＝________.(4)lg0.01＝________.解析：(1)log636＝2.(2)lne3＝3.(3)log50.2＝log55－1＝－1.(4)lg0.01＝lg10－2＝－2.答案：(1)2(2)3(3)－1(4)－26．ln1＋log(2-1)(2－1)＝________.解析：ln1＋log(2-1)(2－1)＝0＋1＝1.答案：17．10lg2－lne＝________.解析：lne＝1，所以原式＝10lg2－1＝10lg2×10－1＝2×110＝15.答案：15三、解答题8．将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4;(2)log1327＝－3；(3)log3x＝6;(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)14－2＝16.解析：(1)24＝16;(2)13－3＝27；(3)(3)6＝x;(4)log464＝3；(5)log319＝－2;(6)log1416＝－2.9．求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)552log3－＝x.解析：(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.(2)∵log2(lgx)＝1，∴lgx＝2.∴x＝102＝100.(3)x＝552log3－＝5255log3＝253.[尖子生题库]10．计算下列各式：(1)2lne＋lg1＋33log2；(2)33log4lg10－＋2ln1.解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝33log41－＋20＝33log4÷31＋1＝43＋1＝73.