古典概率计算中的若干方法

摘要：通过介绍古典概率的计算方法，使学生在解题过程中能正确分析题意，运用适当的方法获得准确的答案，从而提高分析问题和解决问题的能力。应用古典概率知识分别对抽签问题、方案决策问题、购物问题、线路设计问题进行了概率分析，旨在说明概率的实际应用。关键词：古典概率；排列组合；Abstract:Thispaperintroducescalculationsofclassicalprobabilitythatcausestudentstocorrectlyanalyzethequestioninthesolutionprocessandacquiretheaccurateanswerviaanappropriatemethod.Therefore,insodoing,students'abilitytoanalyzeandsolveproblemscanbeimproved.Applicationofclassicalprobabilityknowledgetodrawrespectively,decisionmakingproblems,shopping,circuitdesignproblemsontheprobabilityanalysis,aimstoshowthattheprobabilityofpracticalapplication.Keywords:classicalprobability；permutationandcombination南京师范大学泰州学院毕业论文1目录1绪论.................................................12古典概率及其性质.......................................22.1概率的古典定义.......................................32.2古典概率的性质.......................................33古典概率的计算.........................................43.1直接计算古典概率.....................................53.2间接计算古典概率.....................................63.3组合分析公式计算古典概率...............................64古典概率的应用.........................................9结论..................................................15谢辞.......................................错误!未定义书签。参考文献...............................................151绪论概率论的起源与赌博问题有关。17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子赌博的贵族德·梅耳，由于他有要急于处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进南京师范大学泰州学院毕业论文2行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·梅耳提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支一一概率论登上了历史舞台。经过很多数学家的努力概率论逐渐走上了严格化的道路，现在它在许多领域发挥着越来越重要的作用。德·梅耳问题是这样的，掷两个骰子时猜几点赢的机会大。掷两个骰子时朝上的面共有36种可能（如表1-1），它们的点数和分别为2-12。在这36种可能中出现7点的占6次，也就是说压7点赢的机会大。对这个问题16世纪的卡当曾预言压7赢的机会大，现在看来很简单，但在当时应该说是很杰出的想法了[1]。表1-1234567345678456789567891067891011789101112古典概率是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论的教程中至今仍占有很重要的地位。因此，掌握古典概率的计算方法对于学好概率论有着重要的意义。以数学分析、测度论等众多确定性数学学科理论为基础，以研究和揭示自然界、社会中广泛存在着的随机现象的统计规律性，以便科学地服务于人类社会生产、生活活动为己任，以为进一步学习数理统计学、随机过程等众多随机性数学学科打下必备理论基础的概率论，自17世纪由于博彩事业、保险事业等的发展诞生以来，始终是理工农医师经营等专业学生的必修课。在该课程中，最基本的重要经典内容当首推古典概型，其中，古典概率的计算则是我们在本课程教学中碰到的首个重点与难点。突出重点，化解难点，无疑是值得我们深思研讨的问题[2]。人们最早研究概率是从掷硬币、掷骰子和摸球等游戏和赌博中开始的，计算古典概型概率的方法称为概率的古典定义或古典概率。因此，鉴于其基础性与重要性，在国内，古典概率一直备受关注，如2002、2003两年李明智、田宝运先后发表的同名作《浅谈古典概率的计算》，曹晓阳在2005年也发表过《关于古典概率的几种解法》，2008年李荣江给出的《计算古典概率的若干简化方法》，2009年张元收给出的《母函数与差分方程在古典概率计算中的应用》，应立君与余雪赞在2011年完成的《古典概率计算中的计数策略》。国外的研究情况由于资源的缺陷，还尚未清楚。本文先对古典概率从定义、性质方面进行了简析，然后介绍了古典概率的几种常用计算方法，如直接计算、间接计算、运用组合分析公式等方法，最后探讨了古典概率在抽签、方案决策、购物、线路设计、分房等方面的实际应用。2古典概率及其性质概率是一门研究现实世界中某些事件发生可能性大小的学科。对于某些随机事件，可以通过对一次试验中可能出现的结果分析来计算其概率。南京师范大学泰州学院毕业论文32.1概率的古典定义下面我们讨论一类最简单的随机试验。这种随机试验具有下列两个特征：（1）试验的所有样本点只有有限个（有限样本空间）；（2）试验中每个样本点发生的可能性是相等的（等可能性）。这类随机试验在概率论发展初期即被注意到，许多最初的概率论结果也是对它作出的。一般把这类随机试验的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位。一方面，由于它简单，对它的讨论有助于直观地理解概率论的许多基本概念；另一方面，古典概型的计算在产品质量抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要作用。定义1对于给定的古典概型，若样本点总数为n，事件A包括其中的m个，则定义事件A的概率为样本点总数的有利样本点数样本点总数包括的样本点数事件AAnmAP（2-1）常称之为古典概率。（事件A包括的样本点数，习惯上常常称为A的有利样本点数）法国数学家拉普拉斯（Laplace）在1812年把上式作为概率的一般定义。现在通常称它为概率的古典定义，因为它只适用于古典概型场合。例1掷一枚匀称的骰子，观察正面朝上的点数，显然这是一个古典概型。令i“掷出点数为i”，6,,2,1i，B“掷出点数为偶数点”，则},,,,,{654321，6n；},,{642B，3m，所以2163样本点总数的有利样本点数BnmBP。2.2古典概率的性质古典概率具备以下基本性质：（1）非负性10AP；（2）正规性1P（样本点全体所成的集合称为样本空间，记为）；（3）0P（为空集）；（4）有限可加性设事件mAAA,,,21互斥，则mmAPAPAPAAAP2121。古典概率作为概率的一类，还具有一些其他性质。南京师范大学泰州学院毕业论文4性质1对任一随机事件A，有APAP1。性质2若BA，则BPAPBAP。推论若BA，则BPAP。性质3对于任意两个事件A、B，都有ABPBPAPBAP。3古典概率的计算古典概率是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论的教程中至今仍占有很重要的地位。因此，掌握古典概率的计算方法对于学好概率论有着重要的意义。但学生在学南京师范大学泰州学院毕业论文5习过程中，对于古典概率的习题往往感到无从下手，不能准确地获得问题求解的结果。下面结合教学中的体会，介绍几种计算古典概率的方法，帮助学生提高解题能力[3]。3.1直接计算古典概率当问题比较简单时，可以直接计算m和n。例1从9,,2,1,0十个数字中任取一个数字，求取得奇数数字的概率。解：基本事件的总数10n，设事件A表示取得奇数数字，则它所含的基本事件数为5m，从而所求概率为5.0105AP[4]。像这类总数不大的对象，有时可以采用枚举法。枚举法是指把对象一一列举出来进行计数的办法，关键是要做到枚举时不重复、不遗漏。例2两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有票价相同、舒适度不同的3辆车，但他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车的发车顺序。两人采用了不同的乘车方案：甲总是上开来的第1辆车。乙则是先观察后上车，当第1辆车开来时，他不上车；而是仔细观察车的舒适情况，如果第2辆车不比第1辆车好，他就上第3辆车。若把这3辆车的舒适度分为上、中、下三等，则甲、乙坐上等车的概率分别是多少？解：列举所有可能的情况，如表3-1所示。表3-1乘车方案可能的情况表发车顺序甲乘的车乙乘的车上中下上下上下中上中中上下中上中下上中上下上中下上下中上下中易得南京师范大学泰州学院毕业论文63162甲P，2163乙P。枚举所有等可能的情况，计算出m，n的值以计算概率，这不失为一个朴素、有效地策略。枚举过程中注重“序”可以提高计数的准确性与速度，常常可借助列表、画树状图等手段[3]。3.2间接计算古典概率当直接计算有困难时，可以考虑利用概率的性质和定理，间接地计算事件的概率。例3一批产品共有50个，其中45个是合格品，5个是次品，从这批产品中任取3个，求其中有次品的概率。解：设A{取出的3个产品中有次品}，A{取出的3个产品全是正品}，则事件A与A互为对立事件，而724.0350345CCAP，从而所求事件的概率为276.01APAP[4]。3.3组合分析公式计算古典概率古典概率的计算经常要用到排列与组合公式，为此先复习一下有关知识。基本组合分析公式（1）全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理若一项工作需依次经过1A和2A两个过程，1A过程有1n种方法，2A过程有2n种方法，则完成该项工作共有21nn种方法。加法原理若一项工作可以有两种不同的过程1A和2A来完成，1A过程有1n种方法，2A过程有2n种方法，则完成该项工作共有21nn种方法。显然这两条原理可以拓广到多个过程的场合。（2）排列从包含有n个元素总体中取出r个来进行排列，这是既要考虑到取出的元素也要顾及到其排列顺序。这种排列可分为两类：第一种是有放回选取，这时每次选取都是在全体元素中进行，同一元素可被重复选中；另一种是无放回选取，这时一个元素一旦被取出，便立刻从总体中去除，因此每个元素至多被选一次，在后一种情况，必有nr。南京师范大学泰州学院毕业论文7①在有放回选取中，从n个元素中取出r个来进行排列，这种排列称为有重复排列，其总数为rn。②在无放回选取中，从n个元素中取出r个来进行排列，这种排列称为选排列，其总数为)1()2)(1(rnnnnArn，特别当nr时，称为全排列，此时!nAnn。（3）组合①从n个元素中取出r个而不考虑其顺序，称为组合，其总数为:)!(!!!)1()1(!rnrnrrnnnrACrnrn。这里rnC称为组合数或二项系数，它是二项展开式nrrnrrnnbaCba0)(（规定10nC）中rnrba的系数。显然，组合数有以下性质：rnnrnCC，rnnrnCrnC1。②若nrrr