几何概率的性质及其应用毕业论文

题目：几何概率的性质及其应用姓名：学号：系别：专业：年级班级：指导教师：职称：2010年月日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目：几何概率的性质及其应用作者单位：作者签名：2010年月日目录摘要………………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………………2引言………………………………………………………………………………31．几何概率的定义……………………………………………………………42．几何概率的性质…………………………………………………………43.几何概率的应用…………………………………………………………8结束语……………………………………………………………………………15参考文献…………………………………………………………………………16致谢……………………………………………………………………………17周口师范学院本科毕业论文(设计)1几何概率的性质及其应用摘要：几何概率问题研究的是“等可能无限”的概率模型，在概率概念的发展中起过重要的作用。几何概率在概率运算和实际应用中占有一定的地位。本文在以下几个方面做了探讨：利用几何概率求两人在某时间段内相见的概率；利用蒲丰投针问题的结论可以求π的近似值，本文介绍直接应用几何概率求π的近似值。船只停泊码头也是日常生活中常见的现象，本文假设两船不能同时停泊在同一码头，它们在一昼夜到达码头的时刻是等可能的，通过分析作图，利用几何概率也可以得出两只船中任何一艘不需要等待码头空出的概率；对于三段小棒构成三角形、圆周上三点构成钝角三角形、两根都是实数等数学问题及生活中投标射击、检测等问题本文也都进行了介绍。关键词：概率论;几何概率;几何图形周口师范学院本科毕业论文(设计)2PropertiesandapplicationsofgeometricprobabilityAbstract：Whatthegeometricprobabilityresearchisanequallypossibleandunlimitedprobabilitymodel,probabilityconceptsindevelopmentplayedanimportantrole.Geometricprobabilitycalculationandapplicationofprobabilityoccupiesacertainposition.Thisarticleismadeinthefollowingareasof:usingthegeometricprobabilityofacertainperiodoftimethetwomeetdemandprobability;useBuffonneedleproblemofconclusionscanseekanapproximationofπ,thedirectapplicationofthisarticledescribesthegeometricapproximationoftheprobabilityofseekingπ.Vesselberthingisalsoacommonphenomenonindailylife,thisassumptioncannotbetwoshipsparkedinthesameterminalatthesametime,theyreachtheterminalinatimeofdayandnightispossible,byanalyzingthemapping,usingthegeometricprobabilitycanbeobtainedintwoboatsAnyoneneednotwaitfortheprobabilityofvacantterminals;forthreeparagraphsconstituteasmallsticktriangle,circlethreeformanobtusetriangle,twoarereallife,suchasmathproblemsandtendershooting,testingandotherissueshavealsoconductedthisarticleIntroduction.Keywords:probability;geometricprobability;geometricgraphics周口师范学院本科毕业论文(设计)3引言概率是描述事情发生可能性大小的数量指标，它是逐渐形成和完善起来的。最初人们讨论的是古典概率试验中事件发生的概率，古典概率的定义要求试验满足有限性与等可能性，这使得它在实际应用中受到了很大的限制。当试验中样本点有无穷不可数多个时，再求概率问题，古典概率就不太适用了。为了克服定义的局限性，人们又引入概率的几何定义，即几何概率。几何概率具有以下两个基本特征：（1）样本空间包含无穷多个样本点，而每个样本点由几何空间中的某一区域内的随机变量来确定;(2)各个样本点的发生是等可能的。几何概率的计算要用到度量空间中的维数和测度，线的测度是其长度，平面图形的测度是其面积，立体图形的测度是其体积，在利用测度计算几何概率的时候，关键是分析基本事件所对应的区域的维数，从而转化为相应维数的测度比，而与其形状、位置无关。周口师范学院本科毕业论文(设计)41.几何概率的定义1.1概率的公理化定义设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件A，定义在上的一个实值函数PA满足：（1）非负性公理若A，则PA0；（2）正则性公理P=1；（3）可列可加性若12......nAAA互不相容，有1()iiPA=1()iiPA，则称PA为事件A的概率，称三元素（,,P）为概率空间。1.2几何概率的定义设是n维空间的勒贝格(Lebesgue)可测集，具有有限的测度Ｌ()0，L()表示的勒贝格测度，现向中等可能地投掷一点M，即M在中均匀分布，那么M落在可测集A()中的可能性与A的测度成正比,而与A的形状无关。则M落在A中的概率为PA=()()LAL，LA表示A的勒贝格测度。(这里的测度在一维空间中指有限区间的长度、二维空间中指可求积的平面区域的面积，三维空间中指可求积空间区域的体积等。)２．几何概率的性质几何概率是概率的一种，它具有概率的所有性质。性质2.10P证明：由于可列个不可能事件之并仍是不可能事件，所以......因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性公理得......PPPPP从而由P=1得...0PP再由非负性公理，必有0P周口师范学院本科毕业论文(设计)5性质2.2若有限个事件2,,...,nAAA互不相容，则有11()()nniiiiPAPA证明：对2,,...,nAAA,,,...应用可列可加性得1212(...)(......)nPAAAPAA=12()()...()()()...nPAPAPAPP=12()()....()nPAPAPA即11()()nniiiiPAPA性质2.3对任一事件A，有()PA=1()PA证明：因为A与A互不相容，且AA，所以由概率的正则性和有限可加性得1()()PAPA由此得()PA=1()PA性质2.4若AB则()()()PABPAPB证明：因为AB，所以()ABAB，且B与AB互不相容，由有限可加性得()()()PAPBPAB即得()()()PABPAPB推论若AB，则()()PAPB但以上推论的逆命题不成立，即由()()PAPB，无法推出AB性质2.5对于任意两个事件,AB，有()()()PABPAPAB证明：因为,ABAAB且,ABA所以由性质2.4得()()()()PABPAABPAPAB性质2.6对任意两个事件,AB，有周口师范学院本科毕业论文(设计)6()()()()PABPAPBPAB（2.6.1）对任意n个事件2,,...,nAAA有11()()nniiiiPAPA11()()...ijijkijnijknPAAPAAA112(1)(...)nnPAAA（2.6.2）证明：先证（2.6.1）式因为()ABABA，且A与BA互不相容，所以由有限可加性和性质2.5得()()()()()()PABPAPBAPAPBPAB下面用归纳法证明（2.6.2）式当n=2时，（2.6.2）式即为（2.6.1）式。设（2.6.2）式对1n成立，则对n，先对两个事件121(...)nAAA与nA用（2.6.1）式12121(...)(...)()nnnPAAAPAAAPA121((...))nnPAAAA=121(...)()nnPAAAPA121(()()...())nnnnPAAAAAA然后由归纳假设，对121(...)nPAAA)及121(()()...())nnnnPAAAAAA进行展开，经过整理合并可知（2.6.2）式对n也成立。推论：对任意两个事件,AB，有()()()PABPAPB对任意n个事件2,,...,nAAA，有11()()nniiiiPAPA定义2.1（1）对中任一单调不减的事件序12......nFFF列称可列并1nnF为nF的极限事件，记为1limnnnnFF。（2）对中任一单调不增的事件序列12......nEEE称可列交1nnE为事件周口师范学院本科毕业论文(设计)7nE的极限事件，记为1limnnnnEE。定义2.2对上的一个概率P（1）若它对中任一单调不减的事件序列nF均成立lim()(lim)nnnnPFPF，则称概率P是下连续的。（2）若它对中任一单调不增的事件序列nE均成立lim()(lim)nnnnPEPE，则称概率P是上连续的。性质2.7若P为事件域上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的。证明：先证P的下连续性。设nF是事件域中一个单调不减的事件序列，即1limnnnnFF。若定义0F，则111()iiiiiFFF。由于1iiFF，显然1()iiFF两两不相容，由可列可加性得11111()()lim()niiiiiniiiPFPFFPFF又由有限可加性得1111()(())()nniiiiniiPFFPFFPF所以lim()(lim)nnnnPFPF。即P是下连续的。再证P是上连续的。设nE是单调不增的事件序列，则__{}nE是单调不减的事件序列。由概率的下连续性得__1lim()lim[1()]lim()nnnnnnPEPEPE________11()()nnnnPEPE11()nnPE由此得lim()(lim)nnnnPEPE。周口师范学院本科毕业论文(设计)8即P是上连续的。性质2.8若P是上满足()1P的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是（1）它是有限可加