圆与椭圆知识点及题型归纳

（一）圆一：圆的方程1.圆的标准方程：⑴以点()Cab，为圆心，r为半径的圆的方程：222()()xaybr⑵圆心在原点的圆的标准方程：222xyr2.圆的一般方程：220xyDxEyF，（2240DEF）说明：⑴2x和2y项的系数相等且都不为零；⑵没有xy这样的二次项．⑶表示以,22DE为圆心，22142DEF为半径的圆．二：直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：①直线与圆相交，有两个公共点；②直线与圆相切，有一个公共点；③直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆的位置关系的判定有两种方法：①代数法：判断直线0AxByC和圆220xyDxEyF的位置关系，可将2200AxByCxyDxEyF消去y（或x），得20mxnxp（或20mynyp）．当0时，直线与圆相交，有两个公共点；当0时，直线与圆相切，有一个公共点；当0时，直线与圆相离，无公共点．②几何法：已知直线0AxByC和圆222xaybr，可用圆心到直线的距离22AaBbCdAB与r的大小关系判断直线与圆的位置关系．当dr时，直线与圆相交，有两个公共点；当dr时，直线与圆相切，有一个公共点；当dr时，直线与圆相离，无公共点；三：圆与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：圆的标准方程222xaybr，圆心Aab，，半径r，若点00Mxy，在圆上，则22200xaybr；若点00Mxy，在圆外，则22200xaybr；若点00Mxy，在圆内，则22200xaybr；反之，也成立.2.圆与圆的位置关系：如图，平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断．⑴几何法：判断圆与圆的位置关系可以利用两圆圆心距d与两圆的半径12rr，的关系进行判断：①外离12drr；②外切12drr；③相交1212rrdrr；④内切12drr；⑤内含120drr≤．⑵代数法：两圆的位置关系也可以利用两圆方程所构成的方程组的解判断：当方程组无解时，两圆外离或者内含；当方程组只有一解时，两圆外切或者内切；当方程组有两解时，两圆相交．由于“代数法”计算量大，运用不方便，所以一般情况下利用“几何法”来判断两圆的位置关系．考点1：圆的方程例1.（1）以点(2,0)M，(0,4)N为直径端点的圆的标准方程为．（2）若方程220xyDxEyF表示以(2,4)为圆心，4为半径的圆，则F．例2.（1）圆心在直线23xy上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为()A．22(3)(3)9xyB．22(1)(1)1xyC．22(3)(3)16xy或22(1)(1)4xyD．22(3)(3)9xy或22(1)(1)1xy（2）对于aR，直线(1)(1)0xyax恒过定点P，则以P为圆心，5为半径的圆的方程是()A．22(1)(2)5xyB．22(1)(2)5xyC．221)(2)5xyD．22(1)(2)5xy考点2：圆的切线问题例3.过点(3,2)作圆22(1)1xy的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为()A．2230xyB．230xyC．230xyD．2230xy两圆内含两圆内切两圆相交两圆外切两圆外离dr1r2C1C2dr1r2C1C2dr1r2C1C2dr1r2C1C2C2C1r2r1d考点3：相交、弦长问题例4.（1）若直线:40lxy被圆222:(1)(3)Cxyr截得的弦长为4，则圆C的半径为()A．2B．2C．6D．6（2）已知AB是圆22620xyxy内过点(2,1)E的最短弦，则||AB等于()A．3B．22C．23D．25考点4：公切线问题例5.已知两圆221:4Cxy，2222:(1)(2)(0)Cxyrr，当圆1C与圆2C有且仅有两条公切线时，则r的取值范围．考点5：最值问题例6.圆221:(1)(3)1Cxy，圆222:(5)(5)4Cxy，M，N分别是圆1C，2C上的动点，P为x轴上的动点，则||||PMPN的最小值()A．6B．210C．7D．10课后练习：1.以点(2,0)M，(0,4)N为直径端点的圆的标准方程为．2.方程22230xymxy表示圆，则m的范围是()A．(,2)(2,)B．(,22)(22,))C．(,3)(3,)D．(,23)(23,)3.已知圆22:3Cxy，点(0,23)A，(,23)Ba．从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为()A．(,23)(23,)B．(，4)(4，)C．(，2)(2，)D．(4,4)4.已知AB是圆22620xyxy内过点(2,1)E的最短弦，则||AB等于()A．3B．22C．23D．251、答案为：22(1)(2)5xy．2、选：B．3选：B．4、选：D．椭圆及其性质知识梳理1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标(a,0)，(－a,0)，(0，b)，(0，－b)(b,0)，(－b,0)，(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b离心率e＝caa，b，c的关系a2＝b2＋c2题型归纳题型1椭圆的定义及其应用【例1-1】（2019秋•盐田区校级期中）已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程．【例1-2】（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．题型2椭圆的标准方程【例2-1】（2020春•黄浦区校级期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为．【例2-2】（2019秋•伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程．求椭圆方程的2种方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可题型3椭圆的几何性质【例3-1】（2020•邵阳三模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【例3-2】（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．求椭圆离心率的三种方法1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．直线与椭圆的位置关系知识梳理1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.2．AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.题型归纳题型1直线与椭圆的位置关系【例1】（2019秋•大兴区期中）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当m取何值时，直线y＝x+m与椭圆C：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型2弦长问题【例2】（2019秋•路南区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆方程；（2）过P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长．1．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝1＋k2|x1－x2|；②|AB|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)；③|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]；④|AB|＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].2．弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．题型3中点弦问题【例3-1】（2019秋•海淀区校级月考）已知：椭圆+＝1，求：（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．1.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．2.求解椭圆上对称问题的常用方法（1）将对称两点所在的直线方程与椭圆方程联立，由Δ＞0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．（2）用参数表示中点坐标，利用中点在椭圆内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围．题型4椭圆与向量的综合问题【例4-1】（2020春•山西期中）设点M和N分别是椭圆C：＝1（a＞0）上不同的两点，线段MN最长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN过点Q（0，2），且＞0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．【例4-2】（2019秋•洛阳期末）已知P（2，0）为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PA，PB的斜率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若＝2，求△OAB面积的最大值．解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运