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第1页线段与角的动点问题1如图，射线0M上有三点A、B、C,满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm(如图所示)，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动)，两点同时出发.(1)当P运动到线段AB上且PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度；(2)若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm?【解答】解：(1)P在线段AB上，由PA=2PB及AB=60,可求得PA=40,OP=60,故点P运动时间为60秒.60十60=1(cm/s).(2)设运动时间为t秒，贝Ut+3t=90±70,解得t=5或40,•••点Q运动到O点时停止运动，•••点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ=OP=70cm，此时t=70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm.2.如图，直线I上依次有三个点O,A,B,OA=40cm,OB=160cm.(1)若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s,则经过t秒后P,Q两点之间的距离为1160—5t|cm(用含t的式子表示)②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA=2PB,求点Q的运动速度.(2)若两点P,Q分别在线段OA,AB上,分别取OQ和BP的中点M,N，求：的值.0AB若CQ=^OC时,CQ=30,点Q的运动速度为30-60=二(cm/s);2若OQ=CQ=60,点Q的运动速度为第2页【解答】解：(1)①依题意得，PQ=|160-5t|;第3页故答案是：|160-5t|;②如图1所示：4t-40=2(160-4t)，解得t=30,如图2所示：4t-40=2(4t-160)，解得t=7,则点Q的运动速度为：旦1=上_(cm/s);707综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或丄cm/s;7(2)如图3,两点P,Q分别在线段OA,AB上，分别取OQ和BP的中点M,N,求上…千—®----T----.—_________1__10占图3„1»■-170AQ■P图：,1■i.0图13•如图，射线OM上有三点A、B、C,满足OA=60cm,AB=60cm,BC=10cm(如图所示)，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动.(1)当点P运动到AB的中点时，所用的时间为90秒.(2)若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm?I-----------1----------------------------11-------------------OABC【解答】解：(1)当点P运动到AB的中点时，点P运动的路径为60cm+30cm=90cm,gn所以点P运动的时间=〒=90(秒);故答案为90;则点Q的运动速度为:的值.(160-y)+x(x+y),第4页(2)当点P和点Q在相遇前，t+30+3t=60+60+10，解得t=25(秒)，当点P和点Q在相遇后，t+3t-30=60+60+10，解得t=40(秒)，答：经过25秒或40秒时，P、Q两点相距30cm.4.如图，在数轴上点A表示的数是-3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18;点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.(1)点B表示的数是15;点C表示的数是3;(2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动•设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6?(3)在(2)的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB=4?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.|■•鼻AOCB【解答】解：(1)点B表示的数是-3+18=15;点C表示的数是-3+18X丄=3.3故答案为：15,3;(2)点P与点Q相遇前，4t+2t=18-6,解得t=2;点P与点Q相遇后，4t+2t=18+6，解得t=4;(3)假设存在，当点P在点C左侧时，PC=6-4t,QB=2t,•/PC+QB=4,•••6-4t+2t=4,解得t=1.此时点P表示的数是1;当点P在点C右侧时，PC=4t-6,QB=2t,•/PC+QB=4,•4t-6+2t=4，解得t=殳.3此时点P表示的数是—.综上所述，在运动过程中存在PC+QB=4，此时点P表示的数为1或.第5页5.将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O.(2)如图①，你发现/AOD与/BOC的大小有何关系？/AOB与/DOC有何关系？直接写出你发现的结论.(3)如图②，当△AOC与厶BOD没有重合部分时，(2)中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【解答】解：(1)ZAOD=ZBOC=155°-90°=65°,/DOC=ZBOD-ZBOC=90°-65°=25°;(2)ZAOD=ZBOC,ZAOB+ZDOC=180°;(3)ZAOB+ZCOD+ZAOC+ZBOD=360°,vZAOC=ZBOD=90°,•••ZAOB+ZDOC=180°.6.以直线AB上点O为端点作射线OC,使ZBOC=60°,将直角△DOE的直角顶点放在点O处.(1)如图1,若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则ZCOE=30°;(2)如图2,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分ZAOC,说明OD所在射线是ZBOC的平分线；(3)如图3,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得ZCOD=—ZAOE.求ZBOD的度数.第6页又vZCOB=60°,•••/COE=30°,故答案为：30°;(2)TOE平分/AOC,•••/COE=ZAOE=—COA,2•••/EOD=90°,•••/AOE+ZDOB=90°,/COE+/COD=90°,•••/COD=/DOB,•OD所在射线是/BOC的平分线；(3)设/COD=x°，则/AOE=5x°,•//DOE=90°,/BOC=60°,•-6x=30或5x+90-x=120•-x=5或7.5,即/COD=5°或7.5°•/BOD=65°或52.5°.7.如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使/BOC=130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在/BOC的内部，且恰好平分/BOC,问：此时直线ON是否平分/AOC?请直接写出结论：直线ON平分(平分或不平分)/AOC.(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角/AOC，则t的值为13或49.(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在/AOC的内部时(如图3),/AOM与/NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.第7页【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D,•••/MON=90°「./MOD=90°•••/MOB+/NOB=90°,/MOC+/COD=90°,•••/MOB=ZMOC,•••/NOB=ZCOD,•••/NOB=ZAOD,•••/COD=ZAOD,•直线NO平分/AOC;(2)分两种情况：①如图2,•••/BOC=130°•••/AOC=50°,当直线ON恰好平分锐角/AOC时，/AOD=ZCOD=25°,•••/BON=25°,/BOM=65°,即逆时针旋转的角度为65°,由题意得，5t=65°解得t=13(s);②如图3，当NO平分/AOC时，/NOA=25°,•••/AOM=65°,即逆时针旋转的角度为：180°+65°=245°,由题意得，5t=245°,解得t=49(s),综上所述，t=13s或49s时，直线ON恰好平分锐角/AOC;第8页(3)ZAOM-ZNOC=40理由：TZAOM=90°-ZAONZNOC=50°-ZAON,•••ZAOM-ZNOC=(90°-ZAON)9.已知ZAOC=40°,ZBOD=30°,ZAOC和ZBOD均可绕点O进行旋转，点M,O,N在同一条直线上，OP是ZCOD的平分线.(1)如图1,当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求ZBOP的余角的度数；(2)在(1)的基础上，若ZBOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时ZAOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s,如图2所示，当旋转6s时，求ZDOP的度数.【解答】解：(1)TZAOC=40°,ZBOD=30°,•ZCOD=180°-40°-30°=110°,•/OP是ZCOD的平分线，•ZDOP=—ZCOD=55°,2•ZBOP=85°,•ZBOP的余角的度数为5°;(2)ZDOP的度数为49°,旋转6s时，ZMOA=3X6°=18°,ZNOB=5X6°=30°,•ZCOM=22°,ZDON=60°,•ZCOD=180°-ZCOM-ZDON=98°,•/OP是ZCOD的平分线，•ZDOP=—ZCOD=49°.210.如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,将一直角三角形的直角顶点放在50°-ZAON)第9页点0处，一边0M在射线0B上，另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在/BOC的内部，且恰好平分/B0C，问：直线0N是否平分/A0C?请说明理由；(2)若/B0C=120°.将图1中的三角板绕点0按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线0N恰好平分锐角/A0C,则t的值为10或40(直接写出结果)；(3)在(2)的条件下，将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3，使0N在/A0C的内部，请探究：/A0M与/N0C之间的数量关系，并说明理由.【解答】解：(1)直线0N平分/A0C.理由如下：•••/A0C=60°,•••/B0N=ZC0D=30°,即旋转60°时0N平分/A0C,由题意得，6t=60°或240°,•t=10或40;(3)•••/M0N=90°,/A0C=60°,•••/A0M=90°-/A0N、/N0C=60°-/A0N,•/A0M-/N0C=(90°-/A0N)-(60°-/A0N)=30°.即/A0M=/N0C+30°.11.如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使/A0C：/B0C=2:1,将一直角三角板的直角顶点放在点0处，一边0N在设0N的反向延长线为0D,•/0M平分/B0C,•••/M0C=ZM0B,又•••0M丄0N,•••/M0D=ZM0N=90°,•••/C0D=ZB0N,又•••/A0D=ZB0N,•••/C0D=ZA0D,•••0D平分/A0C,即直线0N平分/A0C.(2)•••/B0C=120°第9页(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上,此时ON旋转的角度为90°;(2)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在/BOC的内部，则/BON-ZCOM=30°;(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为ZBOC的平分线时，此时，三角板绕点O的运动时间为(24n+16)秒，简要说明理由.【解答】解：(1)如图2,依题意知，旋转角是ZMON，且ZMON=90°.故填：90;(2)如图3,ZAOC:ZBOC=2:1,•••ZAOC=120°,ZBOC=60°,vZBON=90°-ZBOM,ZCOM=60°-ZBOM,•ZBON-ZCOM=90°-ZBOM-60°+ZBOM=30°