2020年天津市高考数学模拟试卷(3)

第1页（共17页）2020年天津市高考数学模拟试卷（3）一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．（3分）已知集合𝐴={𝑥|𝑦=𝑙𝑛(𝑥2−3𝑥−4)}，𝐵={𝑥|𝑥−2𝑥−1≥0}全集U＝R，则（∁RA）∩B（）A．[1，2]B．[﹣1，2）∪（3，4]C．[﹣1，3）D．[﹣1，1）∪[2，4]2．（3分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要3．（3分）某校理科实验班的100名学生在某次期中考试的语文成绩都不低于100分，现将语文成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，其成绩的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生语文成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（）A．117B．120C．123D．1254．（3分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．第2页（共17页）C．D．5．（3分）圆x2+y2＝4被直线𝑦=√3𝑥+2截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．（3分）已知函数f（x）对任意不相等的实数x1，x2都满足（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，若a＝f（21.2），b＝f（(12)−0.8）c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a7．（3分）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则函数y＝f（x）+√3f（x+𝜋4）的单调增区间为（）A．[kπ−𝜋4，kπ+𝜋4]（k∈Z）B．[kπ−𝜋6，kπ+𝜋3]（k∈Z）C．[kπ−𝜋3，kπ+𝜋6]（k∈Z）D．[kπ，kπ+𝜋2]（k∈Z）8．（3分）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）A．𝑥23−y2＝1B．𝑥29−𝑦23=1C．𝑥23−𝑦29=1D．x2−𝑦23=19．（3分）已知三次函数𝑓(𝑥)=𝑥33+𝑎𝑥2−3𝑎2𝑥+𝑏(𝑎＞0）有两个零点，若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则实数a的范围为（）A．(0，√68)B．(0，3√28)C．(√68，+∞)D．(√68，3√28)二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）第3页（共17页）10．（3分）若复数z=3−𝑖1+𝑖（i为虚数单位），则|z|＝．11．（3分）已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值为．12．（3分）已知三棱锥S﹣ABC外接球O的体积为288π，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，cos∠CBA=35，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为．13．（3分）有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有种；E（ξ）＝；14．（3分）若x+3𝑥+3y+4𝑦=12，（x＞0，y＞0），则x+4𝑦的最小值为．15．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为单位圆上两点，且满足𝑂𝐴→⋅𝑂𝐵→=12，则|x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎3𝑏−𝑐．（1）求sin2A；（2）若a＝1，△ABC的面积为√2，求b+c的值．17．（15分）如图所示，正方体的棱长为1，B'C∩BC'＝O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数．18．（15分）在数列{an}中，已知a1＝1，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛−1．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）记bn＝an+（1﹣λ）n，且数列{bn}的前n项和为Sn，若S2为数列{Sn}中的最小项，求λ的取值范围．第4页（共17页）19．（15分）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）且椭圆上存在一点P，满足．PF1=72，cos∠F1F2P=23．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，记直线AM，BN的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？20．（16分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）=1𝑥+𝑎（其中a是常数），（Ⅰ）求过点P（0，﹣1）与曲线f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）是否存在k≠1的实数，使得只有唯一的正数a，当x＞1𝑎时不等式f（x）g（x−1𝑎）≤kx恒成立，若这样的实数k存在，试求k，a的值；若不存在，请说明理由．第5页（共17页）2020年天津市高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．（3分）已知集合𝐴={𝑥|𝑦=𝑙𝑛(𝑥2−3𝑥−4)}，𝐵={𝑥|𝑥−2𝑥−1≥0}全集U＝R，则（∁RA）∩B（）A．[1，2]B．[﹣1，2）∪（3，4]C．[﹣1，3）D．[﹣1，1）∪[2，4]【解答】解：∵A＝{x|x＞4，或x＜﹣1}，∴∁RA＝{x|﹣1≤x≤4}，∵B＝{x|x≥2，或x＜1}，∴（∁RA）∩B＝[﹣1，1）∪[2，4]．故选：D．2．（3分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1﹣2sin2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．故选：B．3．（3分）某校理科实验班的100名学生在某次期中考试的语文成绩都不低于100分，现将语文成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，其成绩的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生语文成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（）第6页（共17页）A．117B．120C．123D．125【解答】解：由图可得[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组的频率分别为：0.005×10＝0.05，0.04×10＝0.4，0.03×10＝0.3，0.02×10＝0.2，0.005×10＝0.05；所以可得这100名学生语文成绩的平均数为：105×0.05+115×0.4+125×0.3+135×0.2+145×0.05＝123；故选：C．4．（3分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．5．（3分）圆x2+y2＝4被直线𝑦=√3𝑥+2截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设直线𝑦=√3𝑥+2与圆x2+y2＝4的的交点为A、B，AB的中点第7页（共17页）为点M，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，圆心到直线y=√3x+2的距离d=|2|√3+1=1，又由∠AOM＝60°，则∠AOB＝120°；故圆x2+y2＝4被直线𝑦=√3𝑥+2截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°；故选：D．6．（3分）已知函数f（x）对任意不相等的实数x1，x2都满足（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，若a＝f（21.2），b＝f（(12)−0.8）c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解答】解：根据题意，利用（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0分析可得函数为增函数，∵1＜(12)−0.8=20.8＜21.2，ln2＜1，∴a＞b＞c，故选：B．7．（3分）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则函数y＝f（x）+√3f（x+𝜋4）的单调增区间为（）A．[kπ−𝜋4，kπ+𝜋4]（k∈Z）B．[kπ−𝜋6，kπ+𝜋3]（k∈Z）C．[kπ−𝜋3，kπ+𝜋6]（k∈Z）D．[kπ，kπ+𝜋2]（k∈Z）【解答】解：由图象知A＝2，𝑇4=𝜋6−（−𝜋12）=3𝜋12得T＝π，即2𝜋𝜔=π，得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），∵f（−𝜋12）＝2sin[2×（−𝜋12）+φ]＝2sin（−𝜋6+φ）＝﹣2，∴sin（−𝜋6+φ）＝﹣1，得φ−𝜋6=2kπ−𝜋2得φ＝2kπ−𝜋3，k∈Z，得f（x）＝2sin（2x+2kπ−𝜋3）＝2sin（2x−𝜋3），第8页（共17页）函数y＝f（x）+√3f（x+𝜋4）＝2sin（2x−𝜋3）+2√3sin（2x+𝜋6）＝2sin（2x−𝜋3）+2√3sin[𝜋2+（2x−𝜋3）]＝2sin（2x−𝜋3）+2√3cos（2x−𝜋3）＝4[12sin（2x−𝜋3）+√32cos（2x−𝜋3）]＝4sin（2x−𝜋3+𝜋3）＝4sin2x，由2kπ−𝜋2≤2x≤2kπ+𝜋2，k∈Z得kπ−𝜋4≤x≤kπ+𝜋4，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ−𝜋4，kπ+𝜋4]（k∈Z），故选：A．8．（3分）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）A．𝑥23−y2＝1B．𝑥29−𝑦23=1C．𝑥23−𝑦29=1D．x2−𝑦23=1【解答】解：双曲线的渐近线为y＝±𝑏𝑎𝑥，∵渐近线与直线x＝0的夹角为60°，∴𝑏𝑎═tan30°=√33，①∵双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，∴4√𝑎2+𝑏2=8，②由①②，解得解得a2＝3，b2＝1．∴双曲线C的标准方程为𝑥23−y2＝1．故选：A．9．（3分）已知三次函数𝑓(𝑥)=𝑥33+𝑎𝑥2−3𝑎2𝑥+𝑏(𝑎＞0）有两个零点，若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则实数a的范围为（）A．(0，√68)B．(0，3√28)C．(√68，+∞)D．(√68，3√28)【解答】解：三次函数𝑓(𝑥)=𝑥33+𝑎𝑥2−3𝑎2𝑥+𝑏(𝑎＞0）有两个零点，且由f′（x）＝x2+2ax﹣3a2＝0得x＝a或﹣3a．第9页（共17页）故必有{𝑓(𝑎)=0𝑓(−3𝑎)＞0或{𝑓(−3𝑎)=0𝑓(𝑎)＜0．又若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则f（x）＝a或f（x）＝﹣3a共有四个根．①当前一组混合组成立时𝑏=53𝑎3，做出图象（图①）可知，只需0＜a＜f（﹣3a）即可，即−9𝑎3+9𝑎3+9𝑎3+53𝑎3＞𝑎，解得𝑎＞√68②；②当后一组混合组成立时b＝﹣9a3，做出图象（图②）可知图②只需f（a）＜﹣3a＜0即可，即𝑎33+𝑎3−3𝑎3−9𝑎3＜−3𝑎，解得𝑎＞3√28③．取②③的并集可知，当𝑎＞√68时．方程f′[f（x）]＝0有四个根．故选：C．第10页（共17页）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3