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第7讲选修4－4：极坐标与参数方程极坐标和直角坐标的互化公式如图，设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直线坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）直线与圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程：①过极点的倾斜角为α的直线：θ＝α(ρ∈R)；②过A(a，0)(a0)且垂直于极轴的直线：ρcosθ＝a；③过A(a，π2)(a0)且平行于极轴的直线：ρsinθ＝a.(2)圆的极坐标方程：①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R；②圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ；③圆心在点(a，π2)处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ，0≤θ≤π.常见的参数方程(1)直线的参数方程：若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t0；若动点P在定点P0的下方，则t0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.(2)圆的参数方程：若圆心为M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(4)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数)．(5)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋t22|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.(5)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为|t|是直线上任一点N(x，y)到P(x0，y0)的距离，即|PN|＝|t|.1．(2019·课标全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解析(1)曲线C：由题意得x＝1－t21＋t2＝－1＋21＋t2即x＋1＝21＋t2，则t＝y2（x＋1），然后代入即可得到y24＋x2＝1(x≠－1)．而直线l：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可得到2x＋3y＋11＝0.(2)将曲线C化成参数方程形式为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，则d＝|2cosθ＋23sinθ＋11|7＝|4sin（θ＋π6）＋11|7所以当θ＋π6＝3π2时，最小值为7.2．(2019·课标全国Ⅱ·22)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解析(1)当θ0＝π3时，ρ0＝4sinθ0＝4sinπ3＝23，以O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M(3，3)，A(4，0)，kOM＝3，则直线l的斜率k＝－33，由点斜式可得直线l：y＝－33(x－4)，化成极坐标方程为ρsin(θ＋π6)＝2.(2)∵l⊥OM，∴∠OPA＝π2，则P点的轨迹为以OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，化成极坐标方程为ρ＝4cosθ.又P在线段OM上，由ρ＝4sinθ，ρ＝4cosθ，可得θ＝π4，∴P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ(θ∈[π4，π2])．3．(2019·课标全国Ⅲ·22)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B(2，π4)，C(2，3π4)，D(2，π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，π2)，(1，π)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解析(1)由题意可知M1，M2，M3的直角坐标方程分别为：(x－1)2＋y2＝1(2≥x≥1，1≥y≥0)，x2＋(y－1)2＝1(－1≤x≤1，1≤y≤2)，(x＋1)2＋y2＝1(－2≤x≤－1，0≤y≤1)，所以M1，M2，M3的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ(0≤θ≤π4)，ρ＝2sinθ(π4≤θ≤3π4)，ρ＝－2cosθ(3π4≤θ≤π)．(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，cosθ＝32，θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，sinθ＝32，θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，cosθ＝－32，θ＝5π6，所以P点的极坐标为(3，π6)或(3，π3)或(3或2π3)，(3，5π6)．4．(2018·课标全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解析(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.5．(2018·课标全国Ⅱ·22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．解析(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.6．(2018·课标全国Ⅲ·22)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解析(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点，则有|21＋k2|1，解得k－1或k1，即α∈(π4，π2)或α∈(π2，3π4)．综上，α的取值范围是(π4，3π4)．(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα(t为参数，π4α3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2α(α为参数，π4α3π4)．7．(2017·课标全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解析(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，(－2125，2425)．(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.8．(2017·课标全国Ⅱ·22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标系方程；(2)设点A的极坐标为(2，π3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解析(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·|sin(α－π3)|＝2|sin(2α－π3)－32|≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.9．(2017·课标全国Ⅲ·22)直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝1k(