北师大版高三数学复习专题-平面向量课件-第5章第3节

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量平面向量第五章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用第五章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量考纲要求命题分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标公式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题．在高考中直接考查以选择题或填空题为主．有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命题．预测2016年对向量的长度与角度仍将重点考查，题型预计还会保持选择题或填空题的形式．运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量1.两个向量的夹角(1)定义已知两个______向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是______，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝____.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是____，则a与b垂直，记作______．非零[0，π]0π90°a⊥b走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量2．平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作____________．规定：零向量与任一向量的数量积为____．两个非零向量a与b垂直的充要条件是______，两个非零向量a与b平行的充要条件是______________．|a|·|b|cosθa·b＝|a||b|·cosθ0a·b＝0a·b＝±|a||b|走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量(2)向量的投影定义：设θ为a与b的夹角，则_________(|b|cosθ)叫作向量a在______方向上(b在______方向上)的投影．(3)平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积．|a|cosθba|b|cosθ走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝______(e为单位向量)；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔______；(3)当a与b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝______，a·a＝______，|a|＝______；(4)cosθ＝______；(5)|a·b|____|a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b|a2a·aa·b|a||b|≤走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝______(交换律)；(2)(λa)·b＝______＝______(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝________.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝______或|a|＝______.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝_________________.(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔______________.(4)向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝_____________x1x2＋y1y2x2＋y2x2＋y2AB→x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1y2＝0x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量6．向量与解析几何直线与向量平行的条件：(1)设直线l的倾斜角为α，斜率为k，若向量a＝(a1，a2)平行于l，则可得k＝tanα＝________.(2)如果直线l的斜率k＝a2a1，则向量(a1，a2)一定与该直线______．(3)设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l____，向量(－B，A)与l____.a2a1平行平行垂直走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量1.(文)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()A．π3B．π4C．2π3D．3π4[答案]C[解析]设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量(理)设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b[答案]C[解析]a－b＝(12，－12)，∴(a－b)·b＝(12，－12)·(12，12)＝0.即a－b与b垂直，故选C．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量2．(文)(2014·山东高考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B．3C．0D．－3[答案]B[解析]本题考查向量的坐标运算及数量积．a·b＝3＋3m＝|a|·|b|·cosπ6＝2·9＋m2·32.解之，m＝3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量(理)(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0C．3D．152[答案]C[解析]本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)(2,1)＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量3．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，且a·b0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形[答案]A[解析]a·b＝|AB→|·|AC→|cosAB→，AC→0，即cosAB→，AC→0，所以角A为钝角．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量4．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]a＋b＝(1，k)＋(2,2)＝(3，k＋2)．∵a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1.∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量5．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．[答案]52[解析]本题考查了平面向量的数量积的运算．由已知|b|＝2，a·b＝2|e1|2＋6e1·e2＝2＋3＝5.∴|a|cosa，b＝|a|×a·b|a||b|＝a·b|b|＝52.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量6．(文)(2014·湖北高考)若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________.[答案]25[解析]|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0⇒△AOB是直角边为|OA→|＝10的等腰直角三角形，AB是斜边，所以|AB→|＝25.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量(理)(2014·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.[答案]±3[解析]本题考查向量基本运算．因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量平面向量数量积的运算(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→·BC→，|CD→|；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.[思路分析](1)作出三角形，找出向量夹角，利用数量积公式求解．(2)写出向量坐标，代入公式求解．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量[规范解答](1)如图，向量AB→，BC→的夹角为120°，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos120°＝5×5×(－12)＝－252.解法一：∵CD→＝12(CA→＋CB→)，∴|CD→|2＝14(CA→＋CB→)2＝14(|CA|→2＋2CA→·CB→＋|CB→|2)＝14×(25＋2×5×5×cos60°＋25)＝754，∴|CD→|＝532.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量解法二：由△ABC是正三角形可知|CD→|＝CD＝CA·sin60°＝5×32＝532.(2)a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，∴(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18.∵a＋2b＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，∴|a＋2b|＝72＋－22＝53.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量[方法总结]向量的数量积的运算结果是一个数量，平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法．我们遇到求向量的模时，可先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ()A．－4B．－3C．－2D．－1[答案]B[解析]本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)∵(m＋n)⊥(m－n)∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0∴λ＝－3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量(2)如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→·AB→＝______.[答案]－8[解析]AB→＝AO→＋OB→，故CA→·AB→＝CA→·(AO→＋OB→)＝CA→·AO→＋CA→·OB→.而AO→＝－12CA→，CA→⊥OB→.所以CA→·AB→＝－12CA→2＝－8.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量利用平面向量数量积求夹角与模已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.[思路分析]由平面向量数量积的运算法则得a·b的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量[规范解答](1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝13.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.∴|a－b|＝37.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第