北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第3节

第四章第三节一、选择题1．已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－22C．22D．1[答案]A[解析]将sinα－cosα＝2两端同时平方得，(sinα－cosα)2＝2，整理得1－2sinαcosα＝2，于是sin2α＝2sinαcosα＝－1，故选A．2．如果cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－a2B．a2C．－aD．a[答案]C[解析]sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－A．3．已知tanα＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos2α等于()A．3B．6C．12D．32[答案]A[解析]cos2α＋sin2α＋1cos2α＝2cos2α＋2sinα·cosαcos2α＝2＋2tanα＝3.故选A．4．(文)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝()A．－7210B．7210C．－210D．210[答案]A[解析]由于α是第三象限角且cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝22(－45－35)＝－7102.(理)若sinα＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝()A．－7210B．－210C．210D．210[答案]B[解析]由α∈(－π2，π2)，sinα＝35可得cosα＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cosα－sinα)＝－210，故选B．5．4cos50°－tan40°＝()A．2B．2＋32C．3D．22－1[答案]C[解析]本题考查非特殊角三角函数的求值问题．4cos50°－tan40°＝4cos50°cos40°－sin40°cos40°＝4cos50°sin50°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝2sin60°＋40°－sin40°cos40°＝2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3.6．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[π4，π2]上的最大值是()A．1B．1＋32C．32D．1＋3[答案]C[解析]f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，又x∈π4，π2，∴2x－π6∈π3，5π6，f(x)max＝1＋12＝32，故选C．二、填空题7．(2014·陕西高考)设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.[答案]12[解析]本题考查向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.又0θπ2，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝12.8．已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈0，π2，则β＝________.[答案]π3[解析]∵α、β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12，∵0βπ2，∴β＝π3.9．函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是________．[答案]π[解析]f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x＝sin(2x－π4)－2(1－cos2x)＝sin(2x－π4)＋2cos2x－2＝sin2xcosπ4－cos2xsinπ4＋2cos2x－2＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin(2x＋π4)－2，所以T＝2πω＝2π2＝π.三、解答题10．(文)(2014·江西高考)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f(π4)＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f(α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．[解析](1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数∴f(0)＝0，即(a＋2)·cosθ＝0①又∵f(π4)＝0，∴(a＋2·12)·cos(π2＋θ)＝0，即－(a＋1)sinθ＝0②.∵θ∈(0，π)，∴sinθ≠0由②可知，a＝－1，代入①得cosθ＝0.∴θ＝π2.∴a＝－1，θ＝π2.(2)∵a＝－1，θ＝π2，∴f(x)＝(－1＋2cos2x)cos(2x＋π2)＝(－1＋2cos2x)(－sin2x)＝－cos2x·sin2x＝－12sin4x.∵f(α4)＝－25，∴－12·sin(4·α4)＝－25，∴sinα＝45.∵α∈(π2，π)，∴cosα0，∴cosα＝－35，∴sin(α＋π3)＝sinα·cosπ3＋cosα·sinπ3＝45·12－35·32＝4－3310.(理)(2014·广东高考)已知函数f(x)＝Asin(x＋π4)，x∈R，且f(5π12)＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f(3π4－θ)．[解析](1)f(5π12)＝Asin(5π12＋π4)＝32，∴A×32＝32，∴A＝3.(2)f(θ)＋f(－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sinθ＋cosθ)＋22(－sinθ＋cosθ)]＝32.∴6cosθ＝32，∴cosθ＝64，又∵θ∈(0，π2)，∴sinθ＝1－cos2θ＝104，∴f(34π－θ)＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝304.一、选择题1．(文)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A．14B．13C．12D．53[答案]B[解析]tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝3，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，即2331－tanAtanB＝3.解得tanAtanB＝13，故选B．(理)若α，β∈0，π2，cosα－β2＝32，sinα2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于()A．－32B．－12C．12D．32[答案]B[解析]∵sinα2－β＝－12，α2－β∈－π2，π4∴α2－β＝－π6①∵cosα－β2＝32，α，β∈0，π2，∴α－β2∈－π4，π2，∴α－β2＝－π6或π6②由①②有α＝π3β＝π3或α＝－π9β＝π9(舍去)，∴cos(α＋β)＝cos2π3＝－12.2．已知向量a＝(sin(α＋π6)，1)，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)＝()A．－34B．－14C．34D．14[答案]B[解析]a·b＝4sin(α＋π6)＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.故选B．二、填空题3．(2014·全国大纲卷)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．[答案]32[解析]本题考查三角函数的性质及三角恒变换．y＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－12)2＋32，当sinx＝12时，ymax＝32.4．函数y＝sinx＋π3sinx＋π2的最小正周期T＝______.[答案]π[解析]解法1：f(x)＝sinx＋π3sinx＋π2＝－12cos2x＋5π6－cos－π6＝－12cos2x＋5π6＋34.∴T＝π.解法2：y＝12sinx＋32cosxcosx＝14sin2x＋34cos2x＋34＝12sin2x＋π3＋34，∴T＝π.三、解答题5．(文)已知函数f(x)＝2cos(x－π12)，x∈R.(1)求f(π3)的值；(2)若cosθ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f(θ－π6)．[解析](1)f(π3)＝2cos(π3－π12)＝2cosπ4＝1.(2)∵cosθ＝35，θ∈(3π2，2π)，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－45.∴f(θ－π6)＝2cos(θ－π4)＝2(cosθcosπ4＋sinθsinπ4)＝－15.(理)已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析](1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z，所以f(x)的定义域为x∈Rx≠π8＋kπ2，k∈Z.f(x)的最小正周期为π2.(2)由fα2＝2cos2α，得tanα＋π4＝2cos2α，sinα＋π4cosα＋π4＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈0，π4，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.由α∈0，π4，得2α∈0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.6．已知34παπ，tanα＋1tanα＝－103.求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值．[解析]∵tanα＋1tanα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－13.又∵3π4απ，∴tanα＝－13.∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2＝5·1－cosα2＋4sinα＋11·1＋cosα2－8－2cosα＝5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16－22cosα＝8sinα＋6cosα－22cosα＝8tanα＋6－22＝－526.