高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“1x”是“2xx”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【答案】：A【分析】：由2xx可得01xx或,1x可得到2xx,但2xx得不到1x.故选A.（2）若函数()2sin()fxx，xR（其中0，2）的最小正周期是，且(0)3f，则（）A．126，B．123，C．26，D．23，【答案】：D【分析】：由22.T由3(0)32sin3sin.2f.23故选D.（3）直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（）Ａ．210xyＢ．210xyＣ．230xyＤ．230xy【答案】：D【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x对称点为(2-x,y)在直线210xy上,0122yx化简得230xy故选答案D.解法二：根据直线210xy关于直线1x对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线1x选答案D.（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6DCBA【答案】B【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π113，正方形面积为256,故至少三个龙头。由于216R，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于21282R，故可以保证整个草坪能喷洒到水。（5）已知随机变量服从正态分布2(2)N，，(4)0.84P≤，则(0)P≤（）A．0.16B．0.32C．0.68D，0.84【答案】：A【分析】：由22(4)(22)()0.84.PPP≤≤≤又2222(0)(22)()1()0.16.PPPP≤≤≤≤故选A.（6）若P两条异面直线lm，外的任意一点，则（）Ａ．过点P有且仅有一条直线与lm，都平行Ｂ．过点P有且仅有一条直线与lm，都垂直Ｃ．过点P有且仅有一条直线与lm，都相交Ｄ．过点P有且仅有一条直线与lm，都异面【答案】：B【分析】：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确。对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，''AB为直线m;若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。若P在P2点，则由图中可知直线''2CCDP及均与l、m异面，故选项D错误。（7）若非零向量，ab满足abb，则（）Ａ．2aabＢ．22aabＣ．2babＤ．22bab【答案】：C【分析】：2,abab+ba+bbb由于，ab是非零向量，则必有a+bb,故上式中等号不成立。∴22bab。故选C.（8）设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【答案】：D【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为()fx均不成立。（9）已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PFPF，124PFPFab，则双曲线的离心率是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3【答案】：B【分析】：设准线与x轴交于A点.在21FPFRt中,21PFPFPAFF21,cabcabPA224又AFAFPA212))((caccaccba222224,化简得223ac,3e故选答案B（10）设21()1xxfxxx，≥，，，()gx是二次函数，若(())fgx的值域是0，∞，则()gx的值域是（）A．11∞，，∞B．10∞，，∞C．0，∞D．1，∞【答案】：C【分析】：要()f的值域是0，∞，则(,1]0.可取，∞又()gx是二次函数，定义域连续，故()gx不可能同时(,1]0.取和，∞结合选项只能选C.yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）已知复数11iz，121izz，则复数2z．【答案】：i【分析】：12211i1i1ii.1izzzz（12）已知1sincos5，且324≤≤，则cos2的值是．【答案】：725【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。∵1sincos5∴两边平方得：221sin2sincoscos25，即11sin225，∴24sin2252cos21sin2725.（13）不等式211xx的解集是．【答案】：(0,2)【分析】：211211(1)211xxxxxxx(1)2102.211xxxxx（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．【答案】：266【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有5658C②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有2103702348CC故210+56=266.（15）随机变量的分布列如下：101Pabc其中abc，，成等差数列，若1.3E则D的值是．【答案】：59【分析】：abc，，成等差数列，2,bac有1,abc111.3Eacca联立三式得111,,,632abc2221111215(1)()().3633329D（16）已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且45POB．若对于内异于O的任意一点Q，都有45POQ≥，则二面角AB的大小是．【答案】：090【分析】：设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及45POQ≥恒成立知,只有45.POB作PHAB于H,则PH面,故AB为090.（17）设m为实数，若22250()30()250xyxyxxyxymxy≥，≥，≤≥，则m的取值范围是．【答案】：4[0,]3【分析】：作图易知,设(5,0),(3,4),(3,4),ABC若0,m不成立;故当0m且斜率大于等于43OCk时方成立.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（18）（本题14分）已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．（I）求证：CMEM；（II）求CM与平面CDE所成的角．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．方法一：（I）证明：因为ACBC，M是AB的中点，所以CMAB．又EA平面ABC，所以CMEM．（II）解：过点M作MH平面CDE，垂足是H，连结CH交延长交ED于点F，连结MF，MD．FCM∠是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH平面CDE，所以MHED，又因为CM平面EDM，所以CMED，则ED平面CMF，因此EDMF．设EAa，2BDBCACa，在直角梯形ABDE中，22ABa，M是AB的中点，所以3DEa，3EMa，6MDa，得EMD△是直角三角形，其中90EMD∠，所以2EMMDMFaDE．在RtCMF△中，tan1MFFCMMC∠，所以45FCM∠，故CM与平面CDE所成的角是45．EDCMA（第19题）BEDCMABEH方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系Cxyz，设EAa，则(2)Aa，，，(020)Ba，，，(20)Eaa，，．(022)Daa，，，(0)Maa，，．（I）证明：因为()EMaaa，，，(0)CMaa，，，所以0EMCM，故EMCM．（II）解：设向量001yz，，n=与平面CDE垂直，则CEn，CDn，即0CEn，0CDn．因为(20)CEaa，，，(022)CDaa，，，所以02y，02x，即(122)，，n，2cos2CMCMCM，nnn，直线CM与平面CDE所成的角是n与CM夹角的余角，所以45，因此直线CM与平面CDE所成的角是45．（20）（本题14分）如图，直线ykxb与椭圆2214xy交于AB，两点，记AOB△的面积为S．（I）求在0k，01b的条件下，S的最大值；（II）当2AB，1S时，求直线AB的方程．AyxOB（第20题）EDCMAByzx本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点A的坐标为1()xb，，点B的坐标为2()xb，，由2214xb，解得21221xb，，所以1212Sbxx221bb2211bb≤．当且仅当22b时，S取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214ykxbxy，，得22212104kxkbxb，2241kb，211||1||ABkxx2222411214kbkk．②设O到AB的距离为d，则21||SdAB，又因为2||1bdk，所以221bk，代入②式并整理，得42104kk，解得212k，232b，代入①式检验，0，故直线AB的方程是2622yx或2622yx或2622yx，或2622yx．（21）（本题15分）已知数列na中的相邻两项212kkaa，是关于x的方程2(32)320kkxkxk的两个根，且212(123)kkaak≤，，，．（I）求1a，3a，5a，7a；（II）求数列na的前2n项和2nS；（Ⅲ）记sin1()32sinnfnn，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)ffffnnnnTaaaaaaaa…，求证：15()624nTn*N≤≤．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I）解：方程2(32)320kkxkxk的两个根为13xk，22kx，当1k时，1232xx，，所以12a；当2k时，16x，24x，所以34a；当3k时，19x