高考卷 全国普通高考全国卷一（理）全解全析

2007年全国普通高考全国卷一（理）全解全析一、选择题1．是第四象限角，5tan12，则sinA．15B．15C．513D．5132．设a是实数，且112aii是实数，则aA．12B．1C．32D．23．已知向量(5,6)a，(6,5)b，则a与bA．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为A．221412xyB．221124xyC．221106xyD．221610xy5．设,abR，集合{1,,}{0,,}bababa，则baA．1B．1C．2D．26．下面给出的四个点中，到直线10xy的距离为22，且位于1010xyxy表示的平面区域内的点是A．(1,1)B．(1,1)C．(1,1)D．(1,1)7．如图，正棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为A．15B．25C．35D．458．设1a，函数()logafxx在区间[,2]aa上的最大值与最小值之差为12，则aA．2B．2C．22D．49．()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的DCBAC1B1D1A1A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．21()nxx的展开式中，常数项为15，则n=A．3B．4C．5D．611．抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则△AKF的面积是A．4B．33C．43D．812．函数22()cos2cos2xfxx的一个单调增区间是A．2(,)33B．(,)62C．(0,)3D．(,)66二、填空题13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）14．函数()yfx的图象与函数3log(0)yxx的图象关于直线yx对称，则()fx____________。15．等比数列{}na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则{}na的公比为______。16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。三、解答题17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cossinAC的取值范围。18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA；（Ⅱ）求的分布列及期望E。19．四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知45ABC，2AB，22BC，3SASB。（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。20．设函数()xxfxee（Ⅰ）证明：()fx的导数'()2fx；（Ⅱ）若对所有0x都有()fxax，求a的取值范围。21．已知椭圆22132xy的左右焦点分别为1F、2F，过1F的直线交椭圆于B、D两点，过2F的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为00(,)xy，证明：2200132xy；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。22．已知数列{}na中，12a，1(21)(2)nnaa，1,2,3,n（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb中，12b，13423nnnbbb，1,2,3,n，证明：432nnba，1,2,3,nDBCAS2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DBAACCDDBDCA1．是第四象限角，5tan12，则sin－215131tan2．设a是实数，112aii=(1)1(1)(1)222aiiaai是实数，则a1，选B。3．已知向量(5,6)a，(6,5)b，30300ab，则a与b垂直，选A。4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则c=4，a=2，212b，双曲线方程为221412xy，选A。5．设,abR，集合{1,,}{0,,}bababa，∵a≠0，∴0,abab，∴1ba，∴1,1ab，则ba2，选C。6．给出的四个点中，到直线10xy的距离都为22，位于1010xyxy表示的平面区域内的点是(－1，－1)，∵11101(1)10，选C。7．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线1AB与1AD所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=5a，A1C1=2a，∠A1BC1的余弦值为45，选D。8．设1a，函数()logafxx在区间[,2]aa上的最大值与最小值之分别为log2,log1aaaa，它们的差为12，∴1log22a，a4，选D。9．()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，若“()fx，()gx均为偶函数”，则“()hx为偶函数”，而反之若“()hx为偶函数”，则“()fx，()gx不一定均为偶函数”，所以“()fx，()gx均为偶函数”，是“()hx为偶函数”是充分而不必要的条DCBAC1B1D1A1件，选B。10．21()nxx的展开式中，常数项为15，则223331()()15nnnnCxx，所以n可以被3整除，当n=3时，13315C，当n=6时，2615C，选D。11．抛物线24yx的焦点F(1，0)，准线为l：1x，经过F且斜率为3的直线3(1)yx与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，23)，AKl，垂足为K(－1，23)，∴△AKF的面积是43，选C。12．函数22()cos2cos2xfxx=2coscos1xx，从复合函数的角度看，原函数看作2()1gttt，costx，对于2()1gttt，当1[1,]2t时，()gt为减函数，当1[,1]2t时，()gt为增函数，当2(,)33x时，costx减函数，且11(,)22t，∴原函数此时是单调增，选A。二、填空题：题号13141516答案363()xxR132313．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336CA种。14．函数()yfx的图象与函数3log(0)yxx的图象关于直线yx对称，则()fx与函数3log(0)yxx互为反函数，()fx3()xxR。15．等比数列{}na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，11nnaaq，又21343SSS，即21111114()3()aaqaaaqaq，解得{}na的公比13q。16．一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=3，∴斜边EF的长为23。GDC1B1A1BCFEA三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A．由ABC△为锐角三角形知，22AB，2263B．2336A，所以13sin232A．由此有333sin3232A，所以，cossinAC的取值范围为3322，．（18）解：（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216PA，()1()10.2160.784PAPA．（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP，(300)1(200)(250)10.40.40.2PPP．的分布列为200250300P0.40.40.22000.42500.43000.2E240（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SD．SAB△的面积22111222SABSAAB．连结DB，得DAB△的面积21sin13522SABAD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABSABDVV，得121133hSSOS，解得2h．设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD．所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．ODBCAS如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，，(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．（Ⅱ）取AB中点E，22022E，，，连结SE，取SE中点G，连结OG，221442G，，．221442OG，，，22122SE，，，(220)AB，，．0SEOG，0ABOG，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．(2220)D，，，(2221)DS，，．22cos11OGDSOGDS，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11．（20）解：（Ⅰ）()fx的导数()eexxfx．由于ee2ee2x-xxx≥，故()2fx≥．（当且仅当0x时，等号成立）．（Ⅱ）令()()gxfxax，则()()eexxgxfxaa，（ⅰ）若2a≤，当0x时，()ee20xxgxaa≥，故()gx在(0)，∞上为增函数，所以，0x≥时，()(0)gxg≥，即()fxax≥．DBCASOEGyxzB1FO2FPDAyxC（ⅱ）若2a，方程()0