高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第4节-基础达标

第二章第四节一、选择题1．(文)函数y＝x13的图像是()[答案]B[解析]本题考查幂函数图像．当x1时x13x，排除C、D，当0x1时x13x，排除A．(理)如图所示函数图像中，表示y＝x23的是()[答案]D[解析]因为23∈(0,1)，所以y＝x23的图像在第一象限图像上凸，又函数y＝x23是偶函数，故图像应为D．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足abc，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的()[答案]A[解析]∵abc且a＋b＋c＝0，∴a0，c0，b2－4ac0，∴图像开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点．3．(文)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么()A．f(2)f(3)B．f(3)f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定[答案]C[解析]因为f(x)满足f(4)＝f(1)，所以二次函数对称轴为x＝4＋12＝52，又3－52＝52－2，即x＝3与x＝2离对称轴的距离相等，所以f(3)＝f(2)．(理)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)0，则f(m＋1)的值为()A．正数B．负数C．非负数D．与m有关[答案]B[解析]∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝12，而－m，m＋1关于x＝12对称，∴f(m＋1)＝f(－m)0，故选B．4．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为()A．y＝2(x－1)2＋3B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3D．y＝－2(x＋1)2＋3[答案]D[解析]设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.5．幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点(2，14)，则f(x)的一个递减区间是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，0)[答案]B[解析]∵图像过(2，14)，则14＝2α，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.由y＝x－2图像可知f(x)的减区间是(0，＋∞)．6．若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A．(－12，14)B．(－14，12)C．(14，12)D．[14，12][答案]C[解析]由题意，得f－1·f00，f1·f20，解得14m12.二、填空题7．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．[答案]－39[解析]f(x)＝2(x－32)2－72.当x＝1时，f(x)min＝－3；当x＝－1时，f(x)max＝9.8．(文)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点12，22，则k＋α＝________.[答案]32[解析]f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，由幂函数f(x)的图像过点12，22，得α＝12，则k＋α＝32.(理)已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图像上，点(－2，12)在幂函数y＝g(x)的图像上，若f(x)＝g(x)，则x＝______.[答案]±1[解析]由题意，设y＝f(x)＝xα，则2＝(2)α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.9．(文)若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.[答案]6[解析]二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为x＝1，即－a＋22＝1，所以a＝－4.而f(x)是定义在[a，b]上的，即a，b关于x＝1也是对称的，所以a＋b2＝1，∴b＝6.(理)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．[答案][0,2][解析]依题意知，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且开口方向向上，f(0)＝f(2)，结合图像可知，不等式f(m)≤f(0)的解集是[0,2]．三、解答题10．如图，抛物线与直线y＝k(x－4)都经过坐标轴的正半轴上A、B两点，该抛物线的对称轴x＝－1与x轴相交于点C，且∠ABC＝90°，求：(1)直线AB对应函数的解析式；(2)抛物线的解析式．[解析](1)由已知及图形得：A(4,0)，B(0，－4k)，C(－1,0)，又∵∠CBA＝∠BOC＝90°，∴OB2＝CO·AO.∴(－4k)2＝1×4，∴k＝±12.又∵由图知k0，∴k＝－12.∴所求直线的解析式为y＝－12x＋2.(2)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则0＝16a＋4b＋c，2＝c，－b2a＝－1，解得a＝－112，b＝－1b，c＝2.∴所求抛物线的解析式为y＝－112x2－16x＋2.一、选择题1．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不过原点，则m的取值是()A．－1≤m≤2B．m＝1C．m＝2D．m＝1或m＝2[答案]D[解析]由幂函数的定义，m2－3m＋3＝1，所以m＝1或m＝2.又图像不过原点，所以m2－m－2≤0，解得－1≤m≤2.综上，m＝1或m＝2.2．(文)函数y＝(cosx－a)2＋1，当cosx＝a时有最小值，当cosx＝－1时有最大值，则a的取值范围是()A．[－1,0]B．[－1,1]C．(－∞，0]D．[0,1][答案]D[解析]∵函数y＝(cosx－a)2＋1，当cosx＝a时有最小值，∴－1≤a≤1，∵当cosx＝－1时有最大值，∴a≥0，∴0≤a≤1.(理)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则m的取值范围是()A．32，3B．32，3C．[0,3]D．32，3[答案]B[解析]f(x)＝x2－3x－4＝x－322－254，∴f32＝－254，又f(0)＝－4.由题意结合函数的图像可得32≤mm－32≤32－0，解得32≤m≤3.二、填空题3．(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.[答案]2[解析]∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．(理)已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为________．[答案]{1，－3}[解析]∵f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，(1)当k0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；(2)当k0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.故k的取值集合为{1，－3}．4．(文)(2015·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f(x0)∈D，则称函数y＝f(x)在D上封闭．若定义域D＝(0,1)，则函数①f1(x)＝3x－1；②f2(x)＝－12x2－12x＋1；③f3(x)＝1－x；④f4(x)＝x12，其中在D上封闭的是________．(填序号即可)[答案]②③④[解析]∵f1(13)＝0∉(0,1)，∴f1(x)在D上不封闭，经验证②③④均满足条件．(理)方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α0,1β2，则实数m的取值范围是________．[答案](2，52)[解析]∵α＋β＝m，α·β＝1，∴m＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m＝β＋1β在(1,2)上是增加的，∴1＋1m2＋12，即m∈(2，52)．三、解答题5．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．[解析](1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－A．当a0时，f(x)在[2,3]上为增加的，故f3＝5，f2＝2⇒9a－6a＋2＋b＝5，4a－4a＋2＋b＝2⇒a＝1，b＝0，当a0时，f(x)在[2,3]上为减少的，故f3＝2f2＝5⇒9a－6a＋2＋b＝24a－4a＋2＋b＝5⇒a＝－1，b＝3.(2)∵b1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上单调，∴2＋m2≤2或m＋22≥4，∴m≤2或m≥6.6.(文)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．[解析]f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴f－1＝1＋3a＝－2，f1＝1－a＝2⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，fa＝a－a2＝－2，f1＝1－a＝2⇒a＝－1；当0a≤1时，fa＝a－a2＝－2，f－1＝1＋3a＝2⇒a不存在；当a1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴f－1＝1＋3a＝2，f1＝1－a＝－2⇒a不存在．综上可得，存在这样的实数a，且a＝－1.(理)(创新题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．[解析](1)∵f(x)＋2x0的解集为(1,3)，∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a0，即f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3A．①由f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)＋9a＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－15.由于a0，故舍去a＝1，将a＝－15代入①，得f(x)＝－15x2－65x－35.(2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝ax－1＋2aa2－a2＋4a＋1a.由a0，可得f(x)的最大值为－a2＋4a＋1a0，由－a2＋4a＋1a0，a0，解得a－2－3或－2＋3a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．