高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第6节-基础达标

第二章第六节一、选择题1．(文)函数y＝log2x的图像大致是()ABCD[答案]C[解析]考查对数函数的图像．(理)函数f(x)＝2|log2x|的图像大致是()[答案]C[解析]∵f(x)＝2|log2x|＝x，x≥1，1x，0x1，∴选C．2．(文)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则f(x)＝()A．log2xB．12xC．log12xD．x2[答案]C[解析]由题意知f(x)＝logax，∴a＝logaa12＝12，∴f(x)＝log12x，故选C．(理)若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是()A．(1a，b)B．(10a,1－b)C．(10a，b＋1)D．(a2,2b)[答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b＝lga，对于A选项，lg1a＝－lga＝－b≠b，对B选项lg(10a)＝1＋lga＝1＋b≠1－B．对C选项lg10a＝1－lga＝1－b≠b＋1，对D，lga2＝2lga＝2b，故(a2,2b)在图像上．3．(2015·营口调研)函数f(x)＝logax(a0，a≠1)，若f(x1)－f(x2)＝1，则f(x21)－f(x22)等于()A．2B．1C．12D．loga2[答案]A[解析]x10，x20，f(x21)－f(x22)＝logax21－logax22＝2(logax1－logax2)＝2[f(x1)－f(x2)]＝2.4．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A．10B．10C．20D．100[答案]A[解析]由2a＝5b＝m，则a＝log2m，b＝log5m，代入1a＋1b＝2得1log2m＋1log5m＝2，则lg2lgm＋lg5lgm＝2，即lg2＋lg5lgm＝2，即lgm＝12，则m＝10.5．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12x；当x4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝()A．124B．112C．18D．38[答案]A[解析]∵234＝22，∴1log232，∴32＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝12log224＝2－log224＝2log2124＝124.6．(文)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B．(0，12]C．[12，2]D．(0,2][答案]C[解析]因为log12a＝－log2a且f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)．又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，选C．(理)若函数f(x)＝log2(x＋1)且abc0，则faa、fbb、fcc的大小关系是()A．faafbbfccB．fccfbbfaaC．fbbfaafccD．faafccfbb[答案]B[解析]∵faa、fbb、fcc可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图像及abc0可知fccfbbfaa.故选B．二、填空题7．(2014·陕西高考)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.[答案]10[解析]本题考查指数与对数运算．4a＝2，∴a＝12，lgx＝a＝12，∴x＝10.8．(2015·东营质检)已知函数f(x)＝3x＋1，x≤0log2x，x0，则使函数f(x)的图像位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．[答案]{x|－1x≤0或x2}[解析]当x≤0时，由3x＋11，得x＋10，即x－1.∴－1x≤0.当x0时，由log2x1，得x2.∴x的取值范围是{x|－1x≤0或x2}．9．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u＝x2－2x，则y＝log3u.∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x0的单调减区间是(－∞，0)，∴y＝log3(x2－2x)的单调减区间是(－∞，0)．三、解答题10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围．[解析](1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则x＋10，1－x0，解得－1x1.故所求定义域为{x|－1x1}．(2)f(x)为奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数．(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}上是增函数，所以f(x)0⇔x＋11－x1.解得0x1.所以使f(x)0的x的取值范围是{x|0x1}.一、选择题1．(2014·四川高考)已知b0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c[答案]B[解析]B本题考查指对互化、指对运算性质等．可逐项验证．A中，d＝log510，而ac＝log5b·lgb＝lgblg5·lgb＝lgb2lg5，∴A错．B中，cd＝lgb·log510＝lgb·lg10lg5＝lgblg5＝log5b＝a，选B．解题时要灵活应用换底公式等．2．(文)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()A．14B．12C．2D．4[答案]B[解析]∵y＝ax与y＝loga(x＋1)具有相同的单调性．∴f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，∴f(0)＋f(1)＝a，即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得1＋loga2＝0，解得a＝12.(理)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－12，则()A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．∵y＝log52＝1log25，z＝e－12＝1e且e2log25∴yz1，又lnπ1，∴yzx，故选D．二、填空题3．已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则log32xy的值为________．[答案]2[解析]依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝4x2－12xy＋9y2，整理得4(xy)2－13(xy)＋9＝0，解得xy＝1或xy＝94.∵x0，y0,2x－3y0，∴xy＝94，∴log32xy＝2.4．(2014·兰州、张掖联考)函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间[1,2013]内这样的企盼数共有________个．[答案]9[解析]∵logn＋1(n＋2)＝lnn＋2lnn＋1，∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝ln3ln2·ln4ln3·ln5ln4·…·lnk＋2lnk＋1＝lnk＋2ln2＝log2(k＋2)．∵1024＝210,2048＝211，且log24＝2，∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10－1＝9个．三、解答题5．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是x的减少的，若存在，求a的取值范围．[分析]参数a既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a的取值范围的制约．[解析]∵a0，且a≠1，∴u＝2－ax是x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]是减少的，∴函数y＝logau是u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是a12－a0即1a2.∴a的取值范围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；(2)求f(log1224)的值．[解析](1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－12x＋1.(2)∵log1224＝－log224∈(－5，－4)，∴log1224＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(log1224)＝f(log1224＋4)＝－12log1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)f(1)，且log2f(x)f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log2x＝12，即x＝2时，f(log2x)有最小值74.(2)由题意log2x2－log2x＋22，log2x2－x＋22⇒x2或0x1，－1x2⇒0x1.∴x的取值范围为(0,1)．