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2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章函数极限连续一、函数1函数的概念：2函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：;)(,,0MxfIxM≤∈∀∃3复合函数与反函数(函数的复合,求反函数)4基本的初等函数与初等函数1）基本初等函数:将幂函数,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。了解它们定义域,性质,图形.2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.常考题型：1。函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；2。复合函数；例1是)(e|sin|)(cos+∞−∞=xxxxfx（A）有界函数.（B）单调函数.（C）周期函数（D）偶函数.例2已知[],1)(,sin)(2xxfxxf−==ϕ则______)(=xϕ的定义域为._______1解：；)1arcsin(2x−].2,2[−例3设则⎩⎨⎧≥−=⎩⎨⎧+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2xxxxxfxxxxxg[].________)(=xfg解=)]([xfg⎩⎨⎧≥++.0,2,0,22xxxx二、极限1极限概念1)数列极限:Aann=∞→lim：0,0∃∀Nε,当时，恒有Nnε−||Aan.2）函数极限:：Axfx=∞→)(lim0,0∃∀Xε,当时，恒有Xx||ε−|)(|Axf.类似的定义Axfx=+∞→)(lim，Axfx=−∞→)(lim。Axfx=∞→)(lim⇔=+∞→)(limxfxAxfx=−∞→)(limAxfxx=→)(lim0：0,0∃∀δε,当δ−||00xx时，恒有ε−|)(|Axf。左极限：=−→)(lim0xfxx)(0−xf(或)0(0−xf)右极限：=+→)(lim0xfxx)(0+xf(或)0(0+xf)AxfxfAxfxxxxxx==⇔=−+→→→)(lim)(lim)(lim000几个值得注意的极限：xexxx1arctanlim,lim010→→，.1lim,arctanlim,lim2xxxexxxx+∞→∞→∞→2极限性质1）有界性收敛数列必有界；2）有理运算性质若BxgAxf==)(lim,)(lim.那么:BAxgxfxgxf±=±=±)(lim)(lim)]()(lim[2BAxgxfxgxf⋅=⋅=)(lim)(lim)]()(lim[)0()(lim)(lim)()(lim≠==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛BBAxgxfxgxf两个常用的结论：1）)()(limxgxf存在，;0)(lim0)(lim=⇒=xfxg2);0)(lim0)(lim,0)()(lim=⇒=≠=xgxfAxgxf3）保号性设Axfxx=→)(lim0（1）如果,则存在0A0δ,当时，.),(0δxUxo∈0)(xf（2）如果当时,,那么.),(0δxUxo∈0)(≥xf0≥A4）极限值与无穷小之间的关系;)()()(limxAxfAxfα+=⇔=.其中.0)(lim=xα3极限存在准则1）夹逼准则：若存在，当时，NNnnnnzyx≤≤，且则,limlimazxnnnn==∞→∞→.limaynn=∞→2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。4常用的基本极限1sinlim0=→xxx,exxx=+→1)1(lim0,exxx=+∞→)11(lim1)1ln(lim0=+→xxx,11lim0=−→xexx,axaxxln1lim0=−→,1)1(lim0αα=−+→xxx.1lim=∞→nnn5无穷小量与无穷大量1）无穷小量的概念:若，则称为时的无穷小量.0)(lim0=→xfxx)(xf0xx→32)无穷小的比较:设0)(lim,0)(lim==xxβα，且0)(≠xβ.（1）高阶：若0)()(lim=xxβα；记为));(()(xxβοα=（2）同阶：若0)()(lim≠=Cxxβα；（3）等价：若1)()(lim=xxβα；记为);(~)(xxβα（4）无穷小的阶:若0)]([)(lim≠=Cxxkβα，称)(xα是)(xβ的阶无穷小.k3）常用的等价无穷小：当时,0→xxxxxxarctan~arcsin~tan~sin~;1~)1ln(~−+xex,21~cos12xx−，,~1)1(xxαα−+,ln~1axax−4）等价无穷小代换若,~,~ββαα且βαlim存在，则βαβαlimlim=5)无穷小的性质:（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.6)无穷大量的概念:若，称为时的无穷大量；∞=→)(lim0xfxx)(xf0xx→7）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量⇒无界变量8）无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量（恒不为零）的倒数是无穷大量；4常考题型：1）求极限；2）无穷小量阶的比较；1求极限：方法1有理运算例1=++→xxxxxx)cos1(1cossin3lim20.（23）例2.1111lim330xxxxx−−+−−+→)23(方法2基本极限例nnnnncba)3(lim++∞→，其中.0,0,0cba)(3abc方法3等价无穷小代换例1.)1ln(lim2tansin0xxeexxx+−→例2.1111lim330xxxxx−−+−−+→方法4夹逼原理例1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++∞→nnnnnnnnn2222211limL(21)例2nnn321lim++∞→n(3)例3.lim21nnmnnnaaa+++∞→L其中),2,1(,0miaiL=)(maxia方法5单调有界准则例设.,2,121,0,011L=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+nxaxxxannn，求极限.(nnx∞→lima)52无穷小量阶的比较例1当时，与0→x2)(kxx=αxxxxcosarcsin1)(−+=β是等价无穷小，则.______=k)43(例2设当时是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（B）0→x)1ln()cos1(2xx+−nxxsinnxxsin)1e(2−xn（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.三、连续1连续的定义:若,则称在处连续。)()(lim00xfxfxx=→)(xf0x左右连续定义:若则称在处左连续。),()(lim00xfxfxx=−→)(xf0x若则称在处右连续。),()(lim00xfxfxx=+→)(xf0x)(xf连续⇔)(xf左连续且右连续2间断点1）第一类间断点:左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限跳跃间断点:左极限≠右极限2）第二类间断点:左、右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点:时,0xx→∞→)(xf振荡间断点:时,振荡0xx→)(xf3连续函数性质1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数；2)基本初等函数在其定义域内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续；63）有界性：若在上连续,则在上有界。)(xf],[ba)(xf],[ba4）最值性:若在连续,则在上必有最大值和最小值。)(xf],[ba)(xf],[ba5）介值性:若在连续,则在上可取到介于它在上最小值与最大值之间的一切值.)(xf],[ba)(xf],[ba],[ba6）零点定理:若在连续,且)(xf],[ba0)()(⋅bfaf,则必),(ba∈∃ξ，使0)(=ξf。常考题型1。讨论函数的连续性及间断点的类型；2。有关闭区间上连续函数性质的证明题;．例1已知在处连续，则⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,0,)(cos)(2/1xaxxxfx0=x_____.=a.)(21−e例2讨论xxexxf−−=11)(的连续性并指出间断点类型.例3函数11sin))(ln()(22−+=xxxxxxf的可去间断点的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3例4设在上连续,)(xf],[babdca.试证对任意的正数qp,,至少存在一个],[dc∈ξ,使)()()()(ξfqpdqfcpf+=+.第二章一元函数微分学一、导数与微分1导数概念：=′)(0xfxxfxxfxΔ−Δ+→Δ)()(lim000=00)()(lim0xxxfxfxx−−→；7左导数：=′−)(0xfxxfxxfxΔ−Δ+−→Δ)()(lim000；右导数：=′+)(0xfxxfxxfxΔ−Δ++→Δ)()(lim000；可导左右导数都存在且相等⇔2微分的概念：若)()()(00xxAxfxxfyΔ+Δ=−Δ+=Δο，则称在处可微。)(xf0xxxfxxfyd)()(d00′=⋅′=Δ3导数与微分的几何意义:(会求切线,法线方程).4连续,可导,可微之间的关系5求导公式6求导法则(1)有理运算法则：（2）复合函数求导法：（3）隐函数求导法：（4）参数方程求导法：（5）对数求导法：（6）高阶导数：1)());2sin(sin)(π⋅+=nxxn2));2cos()(cos)(π⋅+=nxxn3）；4）)()()()(nnnvuvu±=±.)()(0)()(knnkkknnvuCuv−=∑=常考题型1.导数定义；2.复合函数、隐函数、参数方程求导；3.高阶导数；8例1设函数在)(xf0=x处可导，且,0)0(=f则=−→3320)(2)(limxxfxfxx（A）（B）).0(2f′−).0(f′−（C）（D）).0(f′0例2设的某个邻域内有定义，则axxf=在)(axxf=在)(处可导的一个充分条件是（A）)]()1([limafhafhh−++∞→存在；（B）)]()1([limafnafnn−+∞→存在；（C）hhafhafh2)()(lim0−−+→存在；（D）hhafafh)()(lim0−−→存在；例3设，其中可导，且)()()(xgxfxF=)(xf,0)()(00=′=xfxf)(xg有界，求)(0xF′。例4已知函数由方程确定,则)(xyy=0162=−++xxyey._______)0(=′′y]2[−例5已知求⎩⎨⎧=+=,arctan)1ln(2tytxxydd，22ddxy.例6设，求xexxf22)(=).0()100(f例7设函数321+=xy，则..________)0()(=ny)3!2)1((1+−nnnn二.微分中值定理1罗尔定理若在连续,在内可导，且)(xf],[ba),(ba)()(bfaf=,则至少),(ba∈∃ξ使0)(=′ξf.2拉格朗日定理若在连续,可导,则至少存在一个)(xf],[ba),(ba),(ba∈ξ,使)()()(ξfabafbf′=−−.3柯西定理9若在连续,在内可导，且)(),(xgxf],[ba),(ba0)(≠′xg,那则至少存在一个),(ba∈ξ，使)()()()()()(ξξgfagbgafbf′′=−−.4泰勒公式定理1（拉格朗日余项）设在的邻域I内阶可导,那么对)(xf0x1+nIx∈∀,至少存在一个ξ使)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=L其中,)()!1()()(10)1(++−+=nnnxxnfxRξξ在与0xx之间.定理2（皮亚诺余项）设在点阶可导,那么)(xf0xn)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=L其中。,)()(0nnxxxR−=ο)(0xx→常考题型中值定理证明题。例1设在区间)(xf[]ba,上连续，在上二阶可导，且),(ba),()()()(bcacfbfaf==证明存在),(ba∈ξ，使)(ξf′′＝0.例2设在上二阶可导，)(xf],[ba,0)()(==bfaf且存在),(bac∈使试证：.0)(cf),,(,ba∈∃ηξ.0)(,0)(′′′ηξff三、导数应用101洛必达法则：若1）)(;0)(lim)(lim00∞==→→xgxfxxxx2）、在点的某去心邻域内可导，且)(xf)(xg0