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讲义3-数学工具DavidAutor14.032004秋季日程●最大化问题–单变量–多变量●隐函数和比较静态●包络定理：限制和非限制●限制条件下最大化问题（拉格朗日方法）●对偶问题1单变量最大化问题假定是某个利润函数，我们选择最佳的使最大化一阶条件（FOC）：问：是最大化的必要条件吗？答：是的，一阶条件是必要的，但不是利润最大化的充分条件。因为这个满足一阶条件的点可能是一个最小值。但是是利润最小点。我们还必须考虑它的二阶条件：这就可以保证是一个局部最大值。当方程很不规则时，这个方法就不是很适用。例如：我们通常遇到的比较规则的方程是连续的，可导的和凹的。因此我们就没必要太关注二阶导数。2多变量最大化问题给定一个函数：同时给定所有的偏导：最大化的一阶条件为：例如：两个变量的函数的最大化问题。任何凹函数的最大值都在那个“水平点”。定义1所有点都位于任何一个切面以下的函数就是凹函数。例如，一个单变量的函数总位于它的切线下面那么它就是凹的。两个变量的函数取最大值的二阶条件如下：3凹函数这组函数满足凹函数的条件，而下面这组函数就不满足凹函数的条件。4隐函数函数既可以写成隐函数形式也可以写成显函数形式。例如：1.y=mx+b显式2.y-mx-b=0隐式3.f(y,x;m,b)=0隐式函数2和3是隐性的因为变量之间的关系是隐含的而不是像函数Y=f(x)有这样显明的形式。在经济学中我们常常用隐函数外生变量和内生变量都是混合在一起。我们可能没有这样的表现形式，但是导数可能仍然存在，而且这常常就是我们所需要的。处理隐函数是很简单的。注意：可能不存在。4.1例子我们能够把函数写成方程形式：如下：我们能够对它进行微分并求出导数：这个导数当y=0时，没有意义。问：在点处导数不存在，意味着什么？答：这时既可以是正的也可以是负的。不确定。我们能够看到这种情况是怎样出现的。假定有一个方程有一个连续的解。我们想要知道某个点的。运用链式求导法。导数存在的必要条件是（隐函数定理）这也说明这个条件是充分的。在多变量情况下这个条件可以写成。4.２例子给定如下函数：求出。1.一种方法是先求出函数的显式表示法。2.另一种是运用隐函数法：●改写为：●全微分：●化简：4.３ 例子再来考虑一个更复杂的例子：求。在这种情况，只有运用隐函数定理才能求导。1.求全微分：2.代入数值：3.时等于多少？近似的求解如下：当时y准确的结果为3.01475。4.４ 隐函数的应用在处理效用函数和无差异曲线时，熟练的处理隐函数是很有帮助的。沿着无差异曲线，我们知道。隐函数说明保持效用水平一致的前提下，当x增加一定量时，要放弃的y的量。5.包络定理包络定理是在有参数的情况下，函数最大化问题推导的一个简便方法。定理2（无约束条件下的包络定理）。是关于和参数a的一阶连续函数。对于一个给定的非限制的最大化问题：表示这个问题的绝对解。假定是a的一阶连续函数。那么，证明：导数的第一部分等于零，因为：这是最值问题的一阶必要条件。注：这比它看上去更直观，更有用。例如：分析下面这个问题我们想要求解，表示上面这个方程的最大值。有两种方法：⒈通过求解单变量最大化问题的方法，求出，然后代入方程。⒉用包络定理求解：5.1包络定理的直观解释已知和这个叫做包络定理，是因为我们用的是函数上面的包络线。图中所画的这个函数是在各点的导数，这个函数为：记住：包络定理适应于多变量的函数6限制条件下的最大化问题经济学中的绝大多数最大化问题都是限制条件下的最大化问题：● 效用最大化有预算限制● 社会福利最大化受资源限制● 利润最大化受技术限制分析限制条件下的最大化问题用拉格朗日方法。这个“窍门”被证明在经济学中非常有用。６.１ 拉格朗日方法问题：构造拉格朗日函数：一阶条件：６.２ 例子：最佳的篱笆尺度给定篱笆的周长p，怎样求它所能围的最大面积（假定这个区域必须是矩形）？这个问题可以概括为：这个问题的拉格朗日的函数为：● 结论是最佳的方法是围一个正方形（x＝y）。● 怎样解释的意义？注意到：这里表示x每增加一单位目标函数的边际增加；表示随x的增加成本的边际增量，也就是y的取值范围的减少。这个比率也称做“影子价格”。在我们这个例子中，表明周长增加一单位，面积的增量。这里说明放松限制一单位，最大面积就会增加。检验如下：取。再取，可见。这个乘子很接近于限制条件增加一单位时，的变化量。６.3例题检验乘子的含义：６.4用包络定理来求解限制条件下的最值问题用表示下面这个问题的解：其中是拉格朗日乘子。那么：这为什么成立呢？因为在处，函数最大化了，也就是对于每一个，都有：唯一的非零偏导是：这比它看起来更明显。再来考虑前面这个问题：求得：你们自己再去求下面这几个偏导数：7对偶性每一个限制条件下的最大化问题都有一个相应的对偶问题，那就是在目标函数取最大值时把限制条件函数最小化。原问题：对偶问题：这两个问题产生相同的最佳值：其中P代表原问题，D代表对偶问题。7.1例题原问题：对偶问题：仔细观察这两个问题的乘子。在原问题中：在对偶问题中，我们交换了这两个方程的位置，因此乘子为：所以：为什么我们要来关注对偶问题呢？●成本最小化问题就是利润最大化问题的对偶问题●支出最小化就是效用最大化的对偶问题在我们的学习中，经常要思考这种对偶关系。此外，对偶问题常常有很好的经济学解释，所以在求解和解释问题时它可能比原问题更具有说服力。