~第二章一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解(含答案)【要点梳理】(不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式)一、不等式1.定义不等式:用不等号(>,<,≥,≤,≠)表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有:性质1对称性:abba;】性质2传递性:,abbcac;性质3加法法则(同向不等式可加性):abacbccR;性质4乘法法则:若ab,则000cacbccacbccacbc,,.补充:除法法则:若ab且0c,则00abcccabccc.,性质5可加法则:,abcdacbd;性质6可乘法则:0,00abcdacbd;性质7可乘方性:*00nnabnabN;可开方性:01nnabnnabN且.!要点诠释:不等式的性质是不等式同解变形的依据.二、比较两代数式大小的方法作差法:1.任意两个代数式a、b,可以作差ab后比较ab与0的关系,进一步比较a与b的大小.①0abab;②0abab;③0abab.作商法:任意两个值为正的代数式a、b,可以作商ab后比较ab与1的关系,进一步比较a与b的大小.①1aabb;②1aabb;③1aabb.&要点诠释:若代数式a、b都为负数,也可以用作商法.中间量法:若两个代数式a、b不容易直接判断大小,可引入第三个量c分别与a、b作比较,若满足ab且bc,则ac.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法,其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设2fxaxbxc(0)a,判别式24bac,按照0,0,0该函数图象(抛物线)与x轴的位置关系也分为三种情况,相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同.如下表所示:24bac0&00函数yfx的图象方程=0fx?的解有两相异实根1212,()xxxx有两相等实根122bxxa无实根不等式0fx的解集[12xxxxx或2bxxaR不等式0fx的解集12xxxx}要点诠释:(1)一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线y2axbxc与x轴的交点的横坐标;(2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决;(3)解集分0,0,0三种情况,得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc的解集.四、解一元二次不等式1.解一元二次不等式2ax+bx+ca00的步骤(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数;(2)写出相应的方程20axbxc(0)a,计算判别式:%①0时,求出两根12xx、,且12xx(注意灵活运用因式分解和配方法);②0时,求根122bxxa;③0时,方程无解(3)根据不等式,写出解集.五、基本不等式1.对公式222abab及2abab的理解.(1)成立的条件是不同的:前者只要求,ab都是实数,而后者要求,ab都是正数;(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当ab时取等号”.~2.由公式222abab和2abab可以引申出常用的常用结论①2baab(,ab同号);②2baab(,ab异号);③222(0,0)1122ababababab或222()(0,0)22abababab要点诠释:222abab可以变形为:222abab,2abab可以变形为:2()2abab.六、用基本不等式2abab求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.①一正:函数的解析式中,各项均为正数;②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.要点诠释:1.基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值,则“积”有最大值.2.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③各项能取得相等的值./【典型例题】类型一不等式性质/例1.对于实数abc,,判断以下说法的对错.(1)若ab,则acbc;(2)若22acbc,则ab;(3)若0ab,则22aabb;(4)若0ab,则ab;(5)若ab,1a1b,则00ab,.举一反三:【变式1】如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()A.B.a+c<b+cC.a﹣c>b﹣cD.a•c<b•c例2、比较下列两代数式的大小:。(1)(5)(9)xx与2(7)x;举一反三:【变式1】比较22xx与2x的大小|【变式2】已知0ab,则2222abab_________abab(填,,)类型二解二次不等式例3.解下列一元二次不等式(1)250xx;(2)2440xx;(3)2450xx]举一反三:【变式1】已知函数222,0,()2,0xxxfxxxx解不等式f(x)>3.《【变式2】不等式组x2-10x2-3x0的解集为()A.{x|-1x1}B.{x|0x3}C.{x|0x1}D.{x|-1x3}【变式3】下列选项中,使不等式x<1x<x2成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)例4.不等式20xmxn的解集为(4,5)x,求关于x的不等式210nxmx的解集.、【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键.举一反三:【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为{x|-3x2},则a=_______,b=________.\【变式2】已知关于x的不等式20xaxb的解集为(1,2),求x的不等式210bxax的解集.【变式3】若关于x的不等式2260axxa的解集为(1,)m,则实数m等于.)【变式4】已知关于x的不等式x2+bx+c0的解集为{x|x-1或x2},则b2+c2=()A.5B.4C.1D.2例5.已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.【思路点拨】不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。…举一反三:【变式1】不等式mx2+1>mx的解集为实数集R,求实数m的取值范围.;【变式2】关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪3,4C.(-∞,0]D.(-∞,0]∪4,3【变式3】如果A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是________.例6.解关于x的含参不等式(1)x2-(a+1)x+a0;(2)x2-ax+10;(3)(ax-1)(x-2)≥0;?…举一反三:【变式1】若0<t<1,则不等式1()()0xtxt的解集为()(A.1|xxttB.1|xxxtt或C.1|xxxtt或D.1|xtxt【变式2】不等式x2-ax-6a20(a0)的解集为()A.(-∞,-2a)∪(3a,+∞)B.(-2a,3a)C.(-∞,3a)∪(2a,+∞)D.(3a,-2a)【变式3】求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.!类型三基本不等式例1.若0x,求9()4fxxx的最小值./举一反三:【变式1】已知x、y都是正数,yx+xy.最小值为_______【变式2】已知,则f(x)在定义域上的最小值为()A.B.C.D.】【变式3】当x>4时,不等式x+≥m恒成立,则m的取值范围是()A.m≤8B.m<8C.m≥8D.m>8例2.已知x>﹣2,则x+的最小值为()A.﹣B.﹣1C.2D.0举一反三:【变式1】已知3a,求证:473aa【思路点拨】对于“和”式求最小值时,要设法配凑得“积”为定值,常采用“配分母”的办法..例3.已知x>0,y>0,x+y+=2,则x+y的最小值是()A.B.1C.D.举一反三:》【变式1】已知a>0,b>0,且满足ab=a+b+3,则a+b的最小值是()A.2B.3C.5D.6【变式2】若0x,0y,且281xy,求xy的最小值.!例4.“1”的代换已知求a+b的最小值:举一反三:【变式1】设a>0,b>0,若a+b=1,则的最小值为()A.4B.8C.1D.【变式2】已知x>0,y>0,且2x+y=1,则11xy的最小值为________;【变式3】若正数x,y满足,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.26【巩固练习】-1.不等式ax2+5x+c>0的解集为11{|}32xx,则a,c的值为()A.a=6,c=1B.a=-6,c=-1C.a=1,c=1D.a=-1,c=-62.不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3},则bx2-ax-1>0的解集是()A.{|23}xxB.11{|}32xxC.11{|}23xxD.{|32}xx3.如果ax2+bx+c0的解集为{x|x-2或x4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c有()A.f(5)f(2)f(-1)B.f(2)f(5)f(-1)C.f(2)f(-1)f(5)D.f(-1)f(2)f(5)4.已知函数f(x)=x+2,x≤0-x+2,x0,则不等式f(x)≥x2的解集为()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]{5.已知x>0,则x+﹣1的最小值是()A.4B.3C.2D.16.当x<﹣1时,f(x)=x+的最大值为.7.不等式2x-53x-1<1的解集是________8.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是__________.9.已知m>0,n>0,且m+n=4,则+的最小值是10.已知x>3,那么函数y=+x﹣3的最小值是;11.解下列不等式¥(1)2x2+7x+3>0;(2)-x2+8x-3>0;、12.已知不等式x2-2x-30的解集为A,不等式x2+x-60的解集为B.(1)求A∩B;(2)若不等式x2+ax+b0的解集为A∩B,求不等式ax2+x+b0的解集.^13.若不等式ax2+bx+c0的解集为{x|-3x4},求不等式bx2+2ax-c-3b0的解集.24.解关于x的不等式:56x2-ax-a20.|15.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30(a∈R).]16.设x,y∈R+,+=3,求2x+y的最小值.—第二章不等式全章整理答案【典型例题】类型一不等式性质例1.对于实数abc,,判断以下说法的对错.(1)若ab,则acbc;/(2)若22acbc,则ab;(3)若0ab,则22aabb;(4)若0ab,则ab;(5)若ab,1a1b,则00ab,.【思路点拨】本类题