高中数学立体几何复习专题(空间角)

.专题:空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0,]2。（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,ab垂直，记作ab。（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。1：三棱柱111BAOOAB，平面11OOBB⊥平面OAB，90,601AOBOBO，且12,OBOO3OA，求异面直线BA1与1AO所成角的余弦。2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围：0，2。（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos21。由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。ABO1A1B1O21cbaPOAB.考点二：直线和平面所成的角例2.如图，在三棱柱ABCABC中，四边形AABB是菱形，四边形BCCB是矩形，CBAB,02,4,60CBABABB，求AC与平面BCCB所成角的正切。3：（1）在0120的二面角PaQ的两个面P与Q内分别有两点AB、，已知点A和点B到棱的距离分别为2,4cmcm，且线段10ABcm。求：①直线AB和棱a所成角的正弦值；②直线AB和平面Q所成角的正弦值。（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．23（3）如图，在矩形ABCD中，33,3ABBC，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到C点，且C点在平面ABD上的射影O恰在AB上。求直线AB与平面BCD所成角的大小。ABCABCABCD333AB()CCDO.（4）①AB为平面的斜线，则平面内过A点的直线l与AB所成的最小角为_____________，最大角为__________________。平面内过A点的直线l与AB所成角的范围为_______________。②AB与平面内不过A点的直线所成的角的范围为_______________________。③直线1l与平面所成的角为030，直线2l与1l所成角为060，则2l与平面所成角的取值范围是______________________。④设直线l平面，过平面外一点A与,l都成030角的直线有且只有()（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条⑤过正方体的顶点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面________________________（注：只须任意写出一个），并证明。3．二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为,的二面角记为l。（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内．．．．．．作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角。说明：①二面角的平面角范围是0,，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。（3）二面角的求法：（4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）ABBllB'O'A'BOA.（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：面积射影定理：已知ABC的边BC在平面内，顶点A。设ABC的面积为S，它在平面内的射影面积为1S，且平面与ABC所在平面所成的二面角为00(090)，则1cosSS。注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；ABC可以推广到任意的多边形。②在二面角的平面角不易作时，经常采用“面积射影定理法”。例3．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCDEF，，分别为ABSC，的中点。（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SDDC，求二面角AEFD的大小。如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，090,1,ACBCB13,6CAAA，M为侧棱1CC上一点，1AMBA。（1）求证：1AMABC平面；（2）求二面角BAMC的大小；（3）求点C到平面ABM的距离。ABCDEFSABMC1A1B1CABCD1AS1S.四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC。①证明：ADCE；②设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小。S为直角梯形ABCD所在平面外一点0,90,ABCSA面,ABCDSAABBC1，12AD，求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小。等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于。CDEABSABCD.例4．如图所示，已知平行六面体1111ABCDABCD的底面ABCD是矩形，且侧面11ABBA底面ABCD，11,3,ABBBANNBM、E分别是1BC、AB的中点，F是EC的中点，4,2ABMN，侧棱与底面ABCD成045的角。（1）求证：MF底面ABCD；（2）求二面角MABC的大小；（3）求MN与平面1BCE所成角的大小。1．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1所成的角为（）（A）450（B）600（C）900（D）1200（2）（08全国Ⅱ10）已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AESD，所成的角的余弦值为（）A．13B．23C．33D．23（3）RtABC的斜边在平面内，顶点A在外，BAC在平面内的射影是BAC，则BAC的范围是________________。（4）从平面外一点P向平面引垂线和斜线，A为垂足，B为斜足，射线BC，这时PBC为钝角，设,PBCxABCy，则（）A.xyB.xyC.xyD.,xy的大小关系不确定（5）相交成60°的两条直线与一个平面所成的角都是45°，那么这两条直线在平面内的射影所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面所成的角是；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离ABC1A1B1CED1DMFNABCA1B1C1.分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面所成的角是。（7）PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A．21B．22C．36D．33（8）如图，在正方体1111DCBAABCD中，,MN分别是1,AAAB上的点，若0190NMC，那么1NMB的大小是（）A.大于090B.小于090C.090D.不能确定（9）已知SOABC所在平面于O点，且S到,,ABC三点等距离，若ABC中，有coscossinsinABAB，则O点（）A.必在ABC的某一边上B.必在ABC外部（不含边界）C.必在ABC内部（不含边界）D.以上都不对（10）如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为21和，则（）A．1sinsin2212B．1sinsin2212C．1sinsin2212D．1sinsin2212（11）如图，lAB，，，，AB，到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若ab，则（）A．mn，B．mn，C．mn，D．mn，（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。2.已知直三棱柱111,,ABCABCABACF为1BB上一点，12,BFBCaFBa。（1）若D为BC的中点，E为AD上不同于AD、的任意一点，证明：1EFFC；（2）若113ABa，求1FC与平面11AABB所成角的正弦值。ABFCE1A1B1CDABCD1A1B1C1DMNABabl.3.已知直角三角形ABC的两直角边2,3ACBC，P为斜边AB上的一点，现沿CP将ACP折起，使A点到A点，且A在面BCP内的射影在CP上。当7AB时，求二面角PACB的大小。4．如图正三棱柱111ABCABC中，底面边长为a，侧棱长为22a，若经过对角线1AB且与对角线1BC平行的平\面交上底面于1DB。（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；（2）求平面1ABD与侧面1AB所成的角及平面1ABD与底面所成的角；（3）求1A到平面1ABD的距离。5．如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足为E。（I）求证：BD⊥A1C；（II）求二面角A1－BD－C1的大小；（III）求异面直线AD与BC1所成角的大小。ABCP23()AABCPGFEDC1B1A1CBA.6.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，90BADFAB，12BCAD∥，12BEAF∥。（Ⅰ）证明：CDFE，，，四点共面；（Ⅱ）设ABBCBE，求二面角AEDB的大小。7．（08江西20）如图，正三棱锥OABC的三条侧棱OAOBOC，，两两垂直，且长度均为2。EF，分别是ABAC，的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OAOBOC，，或其延长线分别相交于111ABC，，，已知132OA。（1）证明：11BC平面OAH；（2）求二面角111OABC的大小。FABCDEABCHFOC1A1EB1.8．如图，已知平行六面体1111ABCDABCD的底面为正方形，1O、O分别为上、下底面的中心，且1A在底面ABCD上的射影是O。（1）求证：平面1ODC平面ABCD；（2）若点,EF分别在棱1,AABC上，且12AEEA，问点F在何处时，EFAD？（3）若0160AAB，求二面角1CAAB的大小（用反三角函数表示）。9．如图，正四棱柱1111ABCDABCD，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：1//BD平面1CDE；（2）求二面角1CDEC的大小；（3）在侧棱1BB上是否存在点P，使得CP平面1CDE？证明你的结论。10.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC,PC的中点。（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值。D1OA1BDA