21版高中必修第一册人教A数学教材习题答案

教材习题答案２６３　　第一章　集合与常用逻辑用语1.1　集合的概念练习１.解析　(１)是.满足集合中元素的确定性.(２)不是.“游泳能手”无明确的标准ꎬ因此“高中学生中的游泳能手”不能组成集合.２.答案　∈ꎻ∉ꎻ∉ꎻ∉ꎻ∈ꎻ∈３.解析　(１)方程ｘ２－９＝０的根为３ꎬ－３ꎬ∴该集合为{３ꎬ－３}.(２)集合中的元素是点ꎬ用坐标表示ꎬ∴该集合为{(１ꎬ４)}.(３)集合中的元素满足４ｘ－５３ꎬ即ｘ２ꎬ∴该集合为{ｘ｜ｘ２}.◆习题1.1复习巩固１.答案　(１)∈ꎻ∉ꎻ∈ꎻ∉(２)∉　(３)∉　(４)∈ꎻ∉２.解析　(１)大于１且小于６的整数有４个:２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ∴集合为{２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}.(２)(ｘ－１)(ｘ＋２)＝０的解为ｘ＝１或ｘ＝－２ꎬ∴集合Ａ＝{１ꎬ－２}.(３)由－３２ｘ－１３ꎬ得－１ｘ２.∵ｘ∈Ｚꎬ∴ｘ＝０或ｘ＝１.∴集合Ｂ＝{０ꎬ１}.综合运用３.解析　(１){ｘ｜ｘ＝２ｎꎬｎ∈Ｚ且１≤ｎ≤５}.(２){１ꎬ２ꎬ３ꎬ１２ꎬ２１ꎬ１３ꎬ３１ꎬ２３ꎬ３２ꎬ１２３ꎬ１３２ꎬ２１３ꎬ２３１ꎬ３１２ꎬ３２１}.(３){４ꎬ５ꎬ６}.(４){造纸术ꎬ印刷术ꎬ指南针ꎬ火药}.４.解析　(１){ｙ｜ｙ＝ｘ２－４ꎬｘ∈Ｒ}＝{ｙ｜ｙ≥－４}.(２)ｘ≠０时ꎬ函数ｙ＝２ｘ有意义ꎬ∴集合为{ｘ｜ｘ≠０}.(３)由３ｘ≥４－２ｘ得ｘ≥４５ꎬ∴集合为ｘｘ≥４５{}.拓广探索５.解析　略.1.2　集合间的基本关系练习１.解析　⌀ꎬ{ａ}ꎬ{ｂ}ꎬ{ｃ}ꎬ{ａꎬｂ}ꎬ{ａꎬｃ}ꎬ{ｂꎬｃ}ꎬ{ａꎬｂꎬｃ}.２.答案　(１)∈　(２)∈　(３)＝　(４)⫋(５)⫋　(６)＝３.解析　(１)Ａ⫋Ｂ.(２)Ａ＝{ｘ｜ｘ＝３ｋꎬｋ∈Ｎ}是由自然数中３的倍数构成的集合ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ＝６ｚꎬｚ∈Ｎ}是由自然数中６的倍数构成的集合ꎬ６的倍数一定是３的倍数ꎬ但３的倍数不一定是６的倍数ꎬ∴Ａ⫌Ｂ.(３)４和１０的公倍数是２０的倍数ꎬ因而Ａ＝{ｘ∈Ｎ＋｜ｘ是４与１０的公倍数}＝{ｘ∈Ｎ＋｜ｘ是２０的倍数}＝{ｘ｜ｘ＝２０ｍꎬｍ∈Ｎ＋}＝Ｂ.◆习题1.2复习巩固１.答案　(１)∉ꎻ∉ꎻ⫋ꎻ⫋　(２)∈ꎻ⫋ꎻ⫋ꎻ＝(３)⫋ꎻ⫌２.解析　Ｄ⫋Ｃ⫋Ｂ⫋Ａꎬ用Ｖｅｎｎ图表示如图.综合运用３.解析　(答案不唯一)(１){ｘ｜ｘ是立德中学高一一班的学生}.(２){ｘ｜ｘ是等边三角形}.(３)⌀.(４){４}.４.解析　集合Ｄ表示直线２ｘ－ｙ＝１与直线ｘ＋４ｙ＝５的交点(１ꎬ１)组成的集合ꎬ而(１ꎬ１)在直线ｙ＝ｘ上ꎬ∴Ｄ⫋Ｃ.拓广探索５.解析　(１)∵Ｐ＝Ｑꎬ∴ａ＝－１ꎬ１＝－ｂꎬ{即ａ＝－１ꎬｂ＝－１ꎬ{∴ａ－ｂ＝０.(２)∵Ｂ⊆Ａꎬ∴利用数轴分析法(如图)ꎬ可知ａ≥２.1.3　集合的基本运算练习１.解析　Ａ∩Ｂ＝{３ꎬ５ꎬ６ꎬ８}∩{４ꎬ５ꎬ７ꎬ８}＝{５ꎬ８}ꎻＡ∪Ｂ＝{３ꎬ５ꎬ６ꎬ８}∪{４ꎬ５ꎬ７ꎬ８}＝{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}.２.解析　Ａ＝{ｘ｜ｘ２－４ｘ－５＝０}＝{ｘ｜(ｘ－５)􀅰(ｘ＋１)＝０}＝{５ꎬ－１}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ２＝１}＝{－１ꎬ１}ꎬ∴Ａ∪Ｂ＝{５ꎬ－１}∪{－１ꎬ１}＝{－１ꎬ１ꎬ５}ꎬＡ∩Ｂ＝{５ꎬ－１}∩{－１ꎬ１}＝{－１}.３.解析　Ａ∩Ｂ＝{ｘ｜ｘ是等腰三角形ꎬ且ｘ是直角三角形}＝{ｘ｜ｘ是等腰直角三角形}.Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜ｘ是等腰三角形ꎬ或ｘ是直角三角形}＝{ｘ｜ｘ是等腰三角形或直角三角形}.４.解析　Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜ｘ是幸福农场的汽车或货车}.练习１.解析　∁ＵＡ＝{１ꎬ３ꎬ６ꎬ７}ꎬ∁ＵＢ＝{２ꎬ４ꎬ６}ꎬ∴Ａ∩(∁ＵＢ)＝{２ꎬ４ꎬ５}∩{２ꎬ４ꎬ６}＝{２ꎬ４}ꎬ(∁ＵＡ)∩(∁ＵＢ)＝{１ꎬ３ꎬ６ꎬ７}∩{２ꎬ４ꎬ６}＝{６}.２.解析　Ｂ∩Ｃ＝{ｘ｜ｘ是菱形ꎬ且ｘ是矩形}＝{ｘ｜ｘ是正方形}ꎬ∁ＳＢ＝{ｘ｜ｘ是平行四边形或梯形ꎬ但ｘ不是菱形}＝{ｘ｜ｘ是邻边不相等的平行四边形或梯形}ꎬ∁ＳＡ＝{ｘ｜ｘ是平行四边形或梯形ꎬ但ｘ不是平行四边形}＝{ｘ｜ｘ是梯形}.３.解析　(１)(２)◆习题1.3复习巩固１.解析　Ｂ＝{ｘ｜３ｘ－７≥８－２ｘ}＝{ｘ｜ｘ≥３}ꎬ∴Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜２≤ｘ４}∪{ｘ｜ｘ≥３}＝{ｘ｜ｘ≥２}ꎬＡ∩Ｂ＝{ｘ｜２≤ｘ４}∩{ｘ｜ｘ≥３}＝{ｘ｜３≤ｘ４}.２.解析　Ａ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}ꎬＢ＝{１ꎬ２ꎬ３}ꎬＣ＝{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬ∴Ａ∩Ｂ＝{１ꎬ２ꎬ３}ꎬＡ∩Ｃ＝{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬＢ∪Ｃ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬＢ∩Ｃ＝{３}ꎬ∴Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬＡ∪(Ｂ∩Ｃ)＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}.３.解析　“每个参加比赛的同学最多只能参加两项比赛”表示为Ａ∩Ｂ∩Ｃ＝⌀.(１)Ａ∪Ｂ表示参加１００ｍ或参加２００ｍ跑的同学组成的集合.(２)Ａ∩Ｃ表示既参加１００ｍ又参加４００ｍ跑的同学组成的集合.综合运用４.解析　因为Ａ＝{ｘ｜３≤ｘ７}ꎬＢ＝{ｘ｜２ｘ１０}ꎬ所以Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜２ｘ１０}ꎬＡ∩Ｂ＝{ｘ｜３≤ｘ７}ꎬ∁ＲＡ＝{ｘ｜ｘ３ꎬ或ｘ≥７}ꎬ∁ＲＢ＝{ｘ｜ｘ≤２ꎬ或ｘ≥１０}ꎬ所以∁Ｒ(Ａ∪Ｂ)＝{ｘ｜ｘ≤２ꎬ或ｘ≥１０}ꎻ∁Ｒ(Ａ∩Ｂ)＝{ｘ｜ｘ３ꎬ或ｘ≥７}ꎻ(∁ＲＡ)∩Ｂ＝{ｘ｜２ｘ３ꎬ或７≤ｘ１０}ꎻＡ∪(∁ＲＢ)＝{ｘ｜ｘ≤２ꎬ或３≤ｘ７ꎬ或ｘ≥１０}.５.解析　当ａ＝３时ꎬＡ＝{３}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ３ꎬ４}ꎬＡ∩Ｂ＝⌀ꎻ当ａ＝１时ꎬＡ＝{１ꎬ３}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ３ꎬ４}ꎬＡ∩Ｂ＝{１}ꎻ当ａ＝４时ꎬＡ＝{３ꎬ４}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ３ꎬ４}ꎬＡ∩Ｂ＝{４}ꎻ当ａ≠１ꎬ且ａ≠３ꎬ且ａ≠４时ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ３ꎬ４ꎬａ}ꎬＡ∩Ｂ＝⌀.拓广探索６.解析　Ｕ＝{０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎬ１０}ꎬ∵Ａ∩(∁ＵＢ)＝{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７}ꎬ∴{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７}⊆Ａꎬ而􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２６４　　集合Ｂ中不包含{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７}ꎬ∴Ｂ＝{０ꎬ２ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎬ１０}.1.4　充分条件与必要条件１.４.１　充分条件与必要条件练习１.解析　(１)是充分条件.(２)不是充分条件.(３)是充分条件.２.解析　(１)是必要条件.(２)不是必要条件.３.解析　充分条件:(１)∠１＝∠４ꎬ(２)∠１＝∠２ꎬ(３)∠１＋∠３＝１８０°.必要条件:(１)∠１＝∠４ꎬ(２)∠１＝∠２ꎬ(３)∠１＋∠３＝１８０°.１.４.２　充要条件练习１.解析　(１)ｐ是ｑ的充要条件.(２)ｐ不是ｑ的充要条件.(３)ｐ不是ｑ的充要条件.２.解析　“两个三角形全等”的充要条件:(１)两个三角形三边对应相等.(２)两个三角形的两边及夹角对应相等.“两个三角形相似”的充要条件:(１)两个三角形三边对应成比例.(２)两个三角形三角对应相等.３.证明　作ＡＥ⊥ＢＣ于ＥꎬＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ.∵ＡＤ∥ＢＣꎬ∴ＡＥ＝ＤＦ.(１)充分性.由ＡＥ＝ＤＦꎬＡＣ＝ＢＤ知ꎬＲｔ△ＡＥＣ≌Ｒｔ△ＤＦＢꎬ∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＢＦꎬ∴△ＡＢＣ≌△ＤＣＢꎬ∴ＡＢ＝ＤＣꎬ∴梯形ＡＢＣＤ是等腰梯形.(２)必要性.由梯形ＡＢＣＤ为等腰梯形知ＡＢ＝ＤＣꎬＲｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦꎬ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＦꎬ∴△ＡＢＣ≌△ＤＣＢꎬ∴ＡＣ＝ＤＢ.综上ꎬ梯形ＡＢＣＤ为等腰梯形的充要条件为ＡＣ＝ＢＤ.◆习题1.4复习巩固１.解析　(１)ｐ:０ｘ１ꎬｑ:０ｘ２.(２)ｐ:０ｘ２ꎬｑ:０ｘ１.(３)ｐ:ｘ１ꎬｑ:ｘ－１０.２.解析　(１)ｐ是ｑ的必要不充分条件.(２)ｐ是ｑ的充要条件.(３)ｐ是ｑ的充分不必要条件.(４)ｐ是ｑ的必要不充分条件.(５)ｐ是ｑ的既不充分又不必要条件.３.解析　(１)真.(２)假.(３)假.(４)真.综合运用４.解析　(１)充分条件.(２)必要条件.(３)充要条件.５.证明　ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ⇔ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ａｂ－ａｃ－ｂｃ＝０⇔(ａ－ｂ)２２＋(ｂ－ｃ)２２＋(ｃ－ａ)２２＝０⇔ａ－ｂ＝０ꎬｂ－ｃ＝０ꎬｃ－ａ＝０{⇔ａ＝ｂ＝ｃ.拓广探索６.解析　(１)若△ＡＢＣ是锐角三角形ꎬ则ａ２＋ｂ２ｃ２.证明:必要性:当△ＡＢＣ是锐角三角形时ꎬ如图①ꎬ过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣꎬ垂足为Ｄꎬ设ＣＤ＝ｘꎬ则有ＢＤ＝ａ－ｘꎬ根据勾股定理ꎬ得ｂ２－ｘ２＝ｃ２－(ａ－ｘ)２ꎬ整理得ａ２＋ｂ２＝ｃ２＋２ａｘꎬ∵ａ０ꎬｘ０ꎬ∴２ａｘ０ꎬ∴ａ２＋ｂ２ｃ２.充分性:在△ＡＢＣ中ꎬａ２＋ｂ２ｃ２ꎬ∴∠Ｃ不是直角.假设∠Ｃ为钝角ꎬ如图②ꎬ过Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣꎬ交ＡＣ的延长线于Ｄ.设ＣＤ＝ｙꎬ则ＢＤ２＝ａ２－ｙ２ꎬ根据勾股定理ꎬ得ｃ２＝(ｂ＋ｙ)２＋(ａ２－ｙ２)＝ａ２＋ｂ２＋２ｂｙａ２＋ｂ２ꎬ与ａ２＋ｂ２ｃ２矛盾ꎬ∴∠Ｃ为锐角ꎬ即△ＡＢＣ为锐角三角形.∴△ＡＢＣ为锐角三角形的一个充要条件是ａ２＋ｂ２ｃ２.图①　图②(２)若△ＡＢＣ是钝角三角形ꎬ∠Ｃ为钝角ꎬ则有ａ２＋ｂ２ｃ２.证明:必要性:当△ＡＢＣ是钝角三角形时ꎬ如图②ꎬ根据勾股定理ꎬ得(ｂ＋ｙ)２＋(ａ２－ｙ２)＝ｃ２ꎬ即ａ２＋ｂ２＋２ｂｙ＝ｃ２ꎬ∵ｂ０ꎬｙ０ꎬ∴２ｂｙ０ꎬ∴ａ２＋ｂ２ｃ２.充分性:在△ＡＢＣ中ꎬａ２＋ｂ２ｃ２ꎬ∴∠Ｃ不是直角.假设∠Ｃ为锐角ꎬ如图①ꎬ显然ｃ２＝(ｂ２－ｘ２)＋(ａ－ｘ)２＝ａ２＋ｂ２－２ａｘａ２＋ｂ２ꎬ与ａ２＋ｂ２ｃ２矛盾ꎬ∴∠Ｃ为钝角ꎬ即△ＡＢＣ为钝角三角形.∴△ＡＢＣ为钝角三角形的一个充要条件是ａ２＋ｂ２ｃ２.1.5　全称量词与存在量词１.５.１　全称量词与存在量词练习１.解析　(１)真.(２)假.(３)假.２.解析　(１)真.(２)假.(３)真.１.５.２　全称量词命题和存在量词命题的否定练习１.解析　(１)∃ｎ∈Ｚꎬｎ∉Ｑ.(２)存在一个奇数ꎬ它的平方不是奇数.(３)存在一个平行四边形不是中心对称图形.２.解析　(１)所有三角形都不是直角三角形.(２)所有梯形都不是等腰梯形.(３)任意实数的绝对值都是正数.◆习题1.5复习巩固１.解析　(１)真.(２)真.(３)真.(４)假.２.解析　(１)真.(２)真.(３)真.(４)若ｎ＝２ｋꎬｋ∈Ｚꎬ则ｎ２＋１＝４ｋ２＋１不是４的倍数ꎻ若ｎ＝２ｋ－１ꎬｋ∈Ｚꎬ则ｎ２＋１＝４ｋ２－４ｋ＋２不是４的倍数ꎬ故命题为假命题.３.解析　(１)∃ｘ∈Ｚꎬ｜ｘ｜∉Ｎ.(２)存在一个可以被５整除的整数ꎬ末位数字不是０.(３)∀ｘ∈Ｒꎬｘ＋１０.(４)所有四边形的对角线都不互相垂直.综合运用４.解析　(１)假.平面直角坐标系下ꎬ有些直线不与ｘ轴相交.(２)真.有些二次函数的图象不是轴对称图形.(３)假.任意一个三角形的内角和都不小于１８０°.(４)真.任意一个四边形的四个顶点都在同一个圆上.５.解析　(１)所有的平行四边形的对角线互相平分.否定:有的平行四边形的对角线不互相平分.(２)任意三个连续整数的乘积是６的倍数.否定:存在三个连续整数的乘积不是６的倍数.(３)至少有一个三角形不是中心对称图形.否定:所有的三角形都是中心对称图形.(４)有些一元二次方程没有实数根.否定:任意一个一元二次方程都有实数根.拓广探索６.解析　(１)不对.①的否定:∃ｘ１ꎬ２ｘ＋１