2020年全国3卷文科数学

12020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合1235711A，，，，，，315|Bxx，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．若)(11zii，则z=（）A．1−iB．1+iC．−iD．i3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．104．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etKIt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．已知πsinsin=3（）1，则πsin=6（）（）A．12B．33C．23D．226．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线7．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：220ypxp交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（14，0）B．（12，0）C．（1，0）D．（2，0）8．点(0)1，到直线1ykx距离的最大值为（）A．1B．2C．3D．229．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+42B．4+42C．6+23D．4+2310．设a=log32，b=log53，c=23，则（）A．acbB．abcC．bcaD．cab11．在△ABC中，2cos3C，AC=4，BC=3，则tanB（）A．5B．25C．45D．8512．已知函数1()sinsinfxxx，则（）A．()fx的最小值为2B．()fx的图像关于y轴对称C．()fx的图像关于直线x对称D．()fx的图像关于直线2x对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件0201xyxyx，则z=3x+2y的最大值为_________．14．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．15．设函数e()xfxxa．若e(1)4f，则a=_________．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设等比数列{an}满足124aa，138aa．（1）求{an}的通项公式；（2）记nS为数列{log3an}的前n项和．若13mmmSSS，求m．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828419．（12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED，12BFFB．证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点1C在平面AEF内．20．（12分）已知函数32()fxxkxk．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有三个零点，求k的取值范围．521．（12分）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ，BPBQ，求APQ△的面积．6（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2222xttytt(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用}mx{aabc，，表示a，b，c中的最大值，证明：3mx{}a4abc，，．72020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案选择题答案一、选择题1．B2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．B9．C10．A11．C12．D非选择题答案二、填空题13．714．315．116．23三、解答题17．解：（1）设{}na的公比为q，则11nnaaq.由已知得1121148aaqaqa，解得11,3aq.所以{}na的通项公式为1=3nna.（2）由（1）知3log1.nan故(1).2nnnS由13mmmSSS得(1)(1)(3)(2)mmmmmm，即2560mm.解得1m（舍去），6m.18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100．（3）根据所给数据，可得22列联表：人次≤400人次4008空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237)5.82055457030K．由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．解：（1）如图，连结BD，11BD．因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD．又因为1BB平面ABCD，于是1ACBB．所以AC平面11BBDD．由于EF平面11BBDD，所以EFAC．（2）如图，在棱1AA上取点G，使得12AGGA，连结1GD，1FC，FG，因为1123DEDD，123AGAA，11DDAA∥，所以1EDAG∥，于是四边形1EDGA为平行四边形，故1AEGD∥．因为1113BFBB，1113AGAA，11BBAA∥，所以11FGAB∥，11FGCD∥，四边形11FGDC为平行四边形，故11GDFC∥．于是1AEFC∥．所以1,,,AEFC四点共面，即点1C在平面AEF内．20．解：（1）2()3fxxk．当k=0时，3()fxx，故()fx在()，单调递增；当k0时，2()30fxxk，故()fx在()，单调递增．当k0时，令()0fx，得33kx．当3(,)3kx时，()0fx；当933(,)33kkx时，()0fx；当3(,)3kx时，()0fx．故()fx在3(,)3k，3(,)3k单调递增，在33(,)33kk单调递减．（2）由（1）知，当0k时，()fx在()，单调递增，()fx不可能有三个零点．当k0时，3=3kx为()fx的极大值点，3=3kx为()fx的极小值点．此时，331133kkkk且(1)0fk，(1)0fk，3()03kf．根据()fx的单调性，当且仅当3()03kf，即22309kkk时，()fx有三个零点，解得427k．因此k的取值范围为(0)427，．21．解：（1）由题设可得2251554m，得22516m，所以C的方程为221252516xy.（2）设(,),(6,)PPQPxyQy，根据对称性可设0Qy，由题意知0Py，由已知可得(5,0)B，直线BP的方程为1(5)Qyxy，所以2||1PQBPyy，2||1QBQy，因为||||BPBQ，所以1Py，将1Py代入C的方程，解得3Px或3.由直线BP的方程得2Qy或8.所以点,PQ的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ.11||10PQ，直线11PQ的方程为13yx，点(5,0)A到直线11PQ的距离为102，故11APQ△的面积为110510222.22||130PQ，直线22PQ的方程为71093yx，点A到直线22PQ的距离为13026，10故22APQ△的面积为113051302262.综上，APQ△的面积为52.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]解：（1）因为t≠1，由220tt得2t，所以C与y轴的交点为（0，12）；由2230tt得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)．故||410AB．（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为1412xy，将cossinxy，代入，得直线AB的极坐标方程3cossin120．23．[选修4—5：不等式选讲]解：（1）由题设可知，a，b，c均不为零，所以22221[()()]2abbccaabcabc2221()2abc0.（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为1,()abcabc，所以a0，b0，c0.由2()4bcbc，可得34aabc，故34a，所以3max{,,}4abc.