三角函数的图像和性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)，A0,ω0,要根据y＝sinx，y＝cosx的整体性质求解。一、函数的奇偶性例1f(x)＝sin()x（0≤）是R上的偶函数，则等于（）A.0B．4C．2D．【评注】由sinyx是奇函数，cosyx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();yAxkkZ(1)若是奇函数，则sin()+();2yAxkkZ(2)若是偶函数，则cos()();2yAxkkZ(3)若是奇函数，则cos()();yAxkkZ(4)若是偶函数，则tan()().2kyAxkZ(5)若是奇函数，则.()sin||aRfxxaa变式1已知，函数为奇函数，则等于（）A.0B．1C．1D．12.0()cos()()RfxxxR变式设，则“”是“为偶函数”的（）A充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件D．无关条件3.()sin()0()fxxfx变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（）A.(0)1fB．(0)0fC．'(0)1fD．'(0)0f2.()sin(2)()()2fxxxRfx例设，则是()A.最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．2最小正周期为的奇函数D．2最小正周期为的偶函数2()sin1()()fxxxRfx变式1.若，则是()A.最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为2的奇函数D．最小正周期为2的偶函数2.(0,)2变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是()A.cos2yxB．|sin2|yxC．|cos2|yxD．|sin|yx二、函数的周期性3.sin(2)cos(2)66yxx例函数的最小正周期为()A.2B．4C．2D．【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：sin()b,cos()b,tan()b22,,.||||||yAxyAxyAx(1)函数的周期分别为|sin()|,|cos()|,|tan()|.||yAxyAxyAx(2)函数的周期均为2|sin()b|(b0),|cos()b|(b0).||yAxyAx(3)函数的周期均为1.sin(2)cos(2)63yxx变式函数的最小正周期和最大值分别为()A.,1B．,2C．2,1D．2,2()sin(sincos),()fxxxxfx变式2.若则的最小正周期是________.()sin3|sin3|()fxxxfx变式3.若则是()A.3最小正周期为的周期函数B．23最小正周期为的周期函数C．最小正周期为2的周期函数D．非周期函数三、函数的单调性.sin(2)([0,])6yxx例4函数的递增区间是()A.[0,]3B．7[,]1212C．5[,]36D．5[,]6【评注】求三角函数的单调区间：sin()(0,0)yAxA若函数则22()22322()22(3)sin()0,0sin()sin()(4)cos()tan()kxkkZkxkkZyAxAyAxyAxyAxyAx(1)函数的递增区间由决定；(2)函数的递减区间由决定；若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；对于函数和单调性的讨论同上。31.sin()[()44yxfxfx变式函数在,]内单调递增，则可以是()A.1B．cosxC．sinxD．cosx()sin()(0)(42fxx变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（）A.15[,]24B．13[,]24C．1(0,]2D．(0,2]3.()3sincos()cos()(0)33(1)()(2)(),[0,]()22fxxxxfxfxxfx变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.四、函数的对称性（对称轴、对称中心）.sin(2)3yx例5函数图象的对称轴方程可能是()A.6xB．12xC．6xD．12x【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：sin(),(,0)();2cos(),(,0)();2tan(,0)();22sin()(),=();2:yxxkkZkkZyxxkkZkkZkyxkZkyAxbxkkZxkZxk(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=(),(,)()cos()(),=();22:()=(),(,)()2kkkZxkZbkZkyAxbxkkZxkZkkxkkZxkZbkZ得对称中心为；(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为；1.sin()(0)()3yxfx变式已知函数的最小正周期为，则的图象()A.(,0)3关于点对称B．4x关于直线对称C．(,0)4关于点对称D．3x关于直线对称.sin()4yx变式2函数的图象的一个对称中心是()A.(,0)B．3(,0)4C．3(,0)4D．(,0)2223.()sincos.55xxfx变式函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是__________.sin3cos0xxaaa变式4若函数y的图象向右平移个单位（）后的图象关于y轴对称，则的最小值是()A.76B．2C．6D．3五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；121()()()()(2)224(3)()()sin(),00()[,]fxyfxfxfxTTTfxfxAxAfx（）对称性奇偶性：若函数的图象关于轴对称，则是偶函数；若函数的图象关于原点对称，则是奇函数；对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数单调；特殊的，若，函数在上单调12120[,]{||,}4Tmax，且设，则。6.()sin2cos2,0,()(),6117(1)()0;(2)()();(3)()121052()[,]()63(5)(,)().fxaxbxabfxfxRffffxfxkkkZabfx例设若对任成立则不具奇偶性；(4)的单调递增区间是；存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论中正确的是__________________7.()4cos()sincos(2)(0)63(1)()(2)()[,].22fxxxxfxfx例已知函数求的值域；若在区间为增函数，求的最大值21.()2sin(0),()[,].43fxxfx变式已知函数若在上递增，求的取值范围8.()sin()(0),()()(,)=______.36363fxxff例若且在上有最小值无最大值，则题型2根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。【思路提示】由图象求得y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为0x，第二点（即图象最高点）为2x，第三点（即图象下降时与横轴的交点）为x，第四点（即图象最低点）为32x，第五点（即图象上升时与横轴的交点）为2.x。.()sin(2)(,)(0)fxAxARf例9函数部分图象如下图所示，则（）A.12B．1C．32D．31.()sin()(0,0)(0)________.fxAxAf变式函数部分图象如下图所示，则2.()cos()()(0)________.23fxAxff变式2部分图象如下图所示，,则.()sin()(0,0,||)()fxAxAfx例10已知函数部分图象如下图所示，求的解析式。变式1.已知)(cos)(2xxf（，为常数），如果存在正整数和实数使得函数()fx的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求的值.112yOx方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。3.()sin()(0,0)R4]()2fxxfx例11已知函数为上的偶函数，点(,0)是其一对称中心，且函数在[0,上单调，求函数的解析式。.()4sin()(0,0)23()fxxfx变式1已知函数图象的相邻两条对称轴的距离为，且经过点(0,2)，求函数的解析式。题型3：函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：2222222(1)sin,sin[1,1];(2)sincossin(),tan;(3)sinsin,sin[1,1];cossin(),sin[1,1];cos2sin2(),sinyaxbatbxtbyaxbxcabxcayaxbxcatbtcxtyaxbxcatbtacxtyaxbxcatbtacx22[1,1];1(4)cossin(sincos)(),sincos[2,2];21cossin(sincos)(),sincos[2,2];2sinsin(5)csinccosttyaxxbxxcabtacxxttyaxxbxxcabtacxxtaxbaxbyyxdxd与根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等sincosxx式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意、的范围。12.()sincos11.1...122fxxxABCD例函数的最小值是().()sincos()333.[2,2].[3,3].[1,1].[,]22fxxxABCD变式1函数的值域为（）2.()sin3sincos[]42133.1...1322fxxxxABCD变式2函数在区间,上的最大值为（）.()4sin()3sin()363.7.23.5.42fxxxABCD例13函数的最大值为（）22.()cos()2cos32xfxx变式1求函数的值域..()cos(2)2sin()sin()([,])344122fxxxxx变式2求函数的值域.2.()2cos2sin4cosfxxxx例14求函数的最值.2.()cossin(||4fxxxx变式1求函数)的最小值.253.()sincos(0822fxxaxax变式2求函数)的最大值.2.sincos0xxaa变式3若有实数解，试确定的取值范围.2.cossin0(0,255.(,].(1,