排列组合-二项式定理总结(含知识点-试题和答案)

高中数学重点-排列组合二项定理学科：数学任课教师：授课时间：年月日考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排排列列组组合合二二项项定定理理知知识识要要点点一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可．以有．．重复．．元素．．的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·…m=mn..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）二、排列.1.⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定0!=1111mnmnmnmmmnmnmAACAAA11mnmnnAA规定10nnnCC2.含有可重元素．．．．．．的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于!!...!!21knnnnn.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3n.三、组合.1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn⑶两个公式：①;mnnmnCC②mnmnmnCCC11①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1mn111mnCCC一类是不含红球的选法有mnC）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cmn种，依分类原理有mnmnmnCCC11.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式nnnnnnCCC221011111121153142011112knknknknmnmmnmmmmmmnnnnnnnnCnCknCkCCCCCCCCCCCC②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：413353433nnCCCCC.vi.构造二项式.如：nnnnnnCCCC222120)()()(证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1()1(其中nx的系数，左边为22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某)(nmm个元素必相邻的排列有mmmnmnAA11个.其中11mnmnA是一个“整体排列”，而mmA则是“局部排列”.又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为2nA2211AAn.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有2211AAnn.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有112nnnAA.注：①③区别在于①是确定的座位，有22A种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mmnmnmnAA1（插空法），当n–m+1≥m,即m≤21n时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有nnA种，)(nmm个元素的全排列有mmA种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有mmnnAA种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n=n！/m！；解法二：（比例分配法）mmnnAA/.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有kknnnnknknACCC)1(.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CCCP）注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmmmnmnmnAAA/1，当n–m+1≥m,即m≤21n时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321xxxx的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,xxxx显然124321xxxx，故（4321,,,xxxx）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321yyyy，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C.注意：若为非负数解的x个数，即用naaa,...,21中ia等于1ix，有AaaaAxxxxnn1...11...21321，进而转化为求a的正整数解的个数为1nnAC.x1x2x3x4⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有rkrnrrAA.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11mnA；不在某一位置上：11mnmnAA或11111mnmmnAAA（一类是不取出特殊元素a，有mnA1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i.从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，排列kkrkrnrrACC；组合rkrnrrCC.ii.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列kkkrnAC；组合krnC.iii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列kkskrnsrACC；组合skrnsrCC.II.排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为rrAA/（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以kkA.例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210ACCC.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/AACCCCCC②非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmAA例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210ACCC种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有334538210ACCC种③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmrrAAA/.例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1mnCA21mm-nC…km)m...m(m-n1-k21C例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210CCC若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110CCC.五、二项式定理.1.⑴二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.展开式具有以下特点：①项数：共有1n项；②系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC③每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大.I.当n是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式