3.15圆幂定理与托勒密定理

1圆幂定理【知识点学习】圆幂定理：（1）相交弦定理：圆的两条相交弦中，每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等。（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等。（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。三个定理统称为圆幂定理。BCAPOOPOBADCBDAPCPDPCPBPAPDPCPBPAPCPBPA2【例题与练习】1.已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，53sinBAD，31cosCAD，2AC，求EC和AD。ADOCBE22.如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，PO与⊙O交于点C，cmABPA6，cmPO12，求⊙O的半径。CAPOB3.如图，已知⊙O与⊙'O相交于A、B两点，点P在BA的延长线上，⊙O的割线PCD交⊙O于点DC、，PE与⊙'O相切于点E，4PC，8CD，求线段PE的长。BACPDOO'E34.如图，已知⊙1O与⊙2O相交于DC、两点，AB为外公切线，BA、为切点，CD的延长线与AB相交于点M，12AB，9CD，求线段MD的长。DBMACO2O15.如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知4OAPA，CDAC．（1）求CD的长；（2）求Bcos的值．CAOBPD6.已知：如图，在ABC中，90C，BE是角平分线，BEDE交AB于D，⊙O是BDE的外接圆，若6AD，26AE，求DE的长．EOADBC47.已知，△ABC外接于⊙O，且BCAB，BCAO，垂足为点D，（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）点E为BC上的一动点（不于CB、重合），连结AE并延长交⊙O于点P，已知1AB，xAE，yPE，求y关于x的解析式并求其定义域；（3）在（2）的条件下，设PAC，EPC，当y取何值时，1sinsin22.EDACOBP5OJHGFEDCBA【练习】：1、如图，BC是半圆⊙O的直径，BCEF于点F，5FCBF．已知点A在CE的延长线上，AB与半圆交于D，且8AB，2AE，求AD的长。DEOFBCA2.如图，⊙O与正三角形三边交于6个点，2AG,13GF,1FC,7HJ,求DE.`6ODEBCAP3.如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C,交AB于点D，证明：BDADBCAC22.4.如图，AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，CDAC于C，CDBD于D，ABPQ于Q，求证：BDACPQ2。PQDCAB75.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，BPAC.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F,8AC，5:6:EDCE，3:2:EBAE，求AB的长和ECB的正切值。EFBAOCDP86.如图，在ABC中，90BAC．BM平分ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作BCMT于T．（1）求证：MTAK；（2）求证：BCAD；（3）当BDAK时，求证：BMACBPBN．9圆的内接四边形与托勒密定理【知识点学习】1、圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，称多边形为该圆的内接多边形；圆为该多边形的外接圆。特别的，如果四边形内接于一个圆，称四边形为该圆的内接四边形。2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的每组对角互补，并且任一个外角等于它的内对角。如右图，180CDAB，CDAE.OEDCBA3、四点共圆的判定：①四个点到定点的距离等于定长；②四边形对角和等于180；③四边形的一个外角等于内对角；④同底同侧的张角相等。（证明见习题3）4、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。【证明】如图，已知：四边形ABCD内接于圆，求证：BDACADBCCDAB。POADCB101．已知：如图，⊙1O与⊙2O相交于BA、两点，过点A的直线分别交⊙1O、⊙2O于点DC、，过点B的直线分别交⊙1O、⊙2O于点E、F，求证：DFCE//。O2O1FEDCBA2．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦ABCD，垂足为点E，G是⌒AC上任意一点，DCAG、的延长线交于点F，求证：AGDFGC。ODEBCFGA113．如图：已知A，D都在BC边上方，且DA，求证：A，B，C，D四点共圆。ACBD4．CDAB、为⊙O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G，弦PBPA、分别交CD于FE、.求证：FGFDCFEF。EFGAOBDCP5．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：10BC，53cosBCD，30BCE，则线段DE的长是（）、A89、B37、C334、D343EACBD126．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果4AB，AO26，那么AC的长等于（）12、A16、B34、C8、DOEFBAC7．直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC（DB、位于AC的两侧），NM、分别是BDAC、中点，且NM、不重合。（1）线段MN与BD是否垂直？证明你的结论；（2）若30BAC，45CAD，4AC，求MN的长。NDMBAC138．如图，已知PA切⊙O于点A，30APO，POAH于点H，任作割线PBC交⊙O于点CB、，计算BCHBHC的值．BHAPOC14OCABP【练习】1.如图，在ABC中，60C，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为32．（1）求证：CDE∽CBA；（2）求DE的长．2.如图，P是正△ABC外接圆的劣弧⌒BC上任一点（不与CB、重合），求证：PCBPPA。15OBADC3.证明等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积。4.设A、B、C是圆O上三点，弦BC的中垂线交AB于D点，自A、C作圆的两切线相交于E，证明：DE∥BC.OEDCBA16FMHDEAOBC5.如图，已知ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为⌒CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且BEAD，垂足为点H.（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若3AB，4BC，求BE的长.6.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，ACBP，过点B的切线分别与过点A、点C的切线交于NM、，联结NPMP、，求证：BP平分MPN。NMOPBAC