苏教版高中数学选修2-2-导数的概念及其几何意义---课件(32张)

学习目标XUEXIMUBIAO1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PARTONE知识点一导数的概念函数y＝f(x)在x0点的是函数y＝f(x)在x0点的导数.用符号表示，记作：瞬时变化率f′(x0)f′(x0)＝fx1－fx0x1－x0＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.10limxx知识点二导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的称为点P处的切线.直线PT(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0).(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为.特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx1.函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关.()2.函数f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率.()3.若函数y＝f(x)在x＝x0处有导数，则函数y＝f(x)在x＝x0处有唯一的一条切线.()4.函数y＝f(x)在x＝x0处的切线与函数y＝f(x)的公共点不一定是一个.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√√2题型探究PARTTWO题型一利用定义求导数例1建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义.反思感悟求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.跟踪训练1利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，例2已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；题型二求切线方程∴点A处的切线的斜率为4.解limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→021＋Δx2－2×12Δx＝limΔx→04Δx＋2Δx2Δx＝limΔx→0(4＋2Δx)＝4，解点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.(2)点A处的切线方程.反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是____.解析limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02＋Δx2＋1－22－1Δx＝limΔx→0(4＋Δx)＝4，曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.-3例3已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标.(1)切线的倾斜角为45°；题型三求切点坐标∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.解设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于4x0，即f′(x0)＝4x0.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，∴切点坐标为14，98.解∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3).则k·－18＝－1，即k＝8，(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.解∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9).反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求导函数f′(x).(3)求切线的斜率f′(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.跟踪训练3已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.例4(1)函数g(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是A.0g′(2)g′(3)g(3)－g(2)B.0g′(3)g(3)－g(2)g′(2)C.0g′(2)g(3)－g(2)g′(3)D.0g(3)－g(2)g′(2)g′(3)题型四导数几何意义的应用解析由函数g(x)的图像知，当x≥0时，g′(x)0且曲线的切线的斜率逐渐增大，∴g′(x)是增加的，∴g′(2)g′(3)，∵g(x)上升的越来越快，∴g′(2)g(3)－g(2)g′(3)，∴0g′(2)g(3)－g(2)g′(3)，故选C.√(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为_____.解析设点P(x0,2x20＋a).f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x0＋Δx2＋a－2x20＋aΔx－7由导数的几何意义可得＝4x0＝8，∴x0＝2，∴P(2,8＋a).将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，得a＝－7.反思感悟利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小.跟踪训练4(1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是A.f′(1)f′(2)aB.f′(1)af′(2)C.f′(2)f′(1)aD.af′(1)f′(2)解析由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，√f2－f12－1∵f2－f12－1＝a，∴易知f′(1)af′(2).(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝_____.解析由题意知切线的斜率为3a2，由点斜式得切线方程为y－a3＝3a2(x－a).令y＝0，得x＝23a，则12a－23a·|a3|＝16，解得a＝±1.16±13达标检测PARTTHREE1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b√12345解析f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.2.曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于A.45°B.60°C.135°D.120°√解析∵f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx9x＝9limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝－9limΔx→01x＋Δxx＝－9x2，∴f′(3)＝－99＝－1，又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°)，∴倾斜角为135°.123453.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于A.－4B.3C.－2D.1√解析由题干中的图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.1234512345解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.4.已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝______.－12