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2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）＜2}，B＝N，则A∩B＝（）A．{2，3，4，5}B．{2，3，4}C．{1，2，3，4}D．{0，1，2，3，4}2．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1﹣i）∈R，则实数a的值是（）A．1B．﹣1C．0D．23．等比数列{an}，若a3＝4，a15＝9，则a9＝（）A．±6B．6C．﹣6D．4．若f（x）＝x（1+ax）2（a∈R），则““是“f（3）＝27“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．曲线x2＝4y在点（2，t）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝2x﹣3C．y＝﹣x+3D．y＝﹣2x+56．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）A．i＞5B．i＞8C．i＞10D．i＞127．若双曲线的离心率√，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．√B．.2C．.√D．.18．将函数f√向左平移个单位，得到g（x）的图象，则g（x）满足（）A．图象关于点（，0）对称，在区间，上为增函数B．函数最大值为2，图象关，于点对称C．图象关于直线对称，在，上的最小值为1D．最小正周期为π，g（x）＝1在，有两个根9．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，2AB＝3AA1＝6，，点T在棱AA1上，若TP⊥平面PBC．则（）A．1B．﹣1C．2D．﹣211．已知a＝log1213，b＝（），c＝log1314，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．a＞c＞b12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面所有项之和（例如：1，3，4，8，16…）．则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为．14．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），并且当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣1，则f（123）＝15．已知平面向量，的夹角为，√，，且√则16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数D（x）{，为有理数，为无理数，称为狄里克雷函数．则关于D（x）有以下结论：①D（x）的值域为[0，1]；②∀x∈R，D（﹣x）＝D（x）；③∀T∈R，D（x+T）＝D（x）；④√√√；其中正确的结论是（写出所有正确的结论的序号）三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分）17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源，传播途径和人群易感性．三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行．呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩．某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率．（2）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？附：K2P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82818．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点，AB＝2，PD＝t（t＞0）．（1）若t＝2，证明：平面DMA⊥平面PBC；（2）若三棱锥C﹣DBM的体积为，求三棱锥B﹣PAC的体积．19．如图，在平面四边形ABCD中，∠D，sin∠BAC＝cos∠B，AB＝13．（1）求AC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．20．设f（x）＝（a﹣4）logax（a＞0且a≠1）．（1）证明：当a＝4时，lnx+f（x）≤0；（2）当x≥1时f（x）≤0，求整数a的最大值．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7≈1.95）21．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆：＞＞的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为√，，B是椭圆C上两点，点M满足．（1）求C的方程；（2）若点M在圆x2+y2＝1上，点O为坐标原点，求的取值范围．请考生在第22，23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），直线l与曲线C：（x﹣1）2+y2＝1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为√，，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x|﹣2|x﹣a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）＜2}，B＝N，则A∩B＝（）A．{2，3，4，5}B．{2，3，4}C．{1，2，3，4}D．{0，1，2，3，4}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|log2（x﹣1）＜2}＝{x|1＜x＜5}，B＝N，∴A∩B＝{2，3，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1﹣i）∈R，则实数a的值是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．解：∵z＝（a+i）（1﹣i）＝（a+1）+（1﹣a）i∈R，∴1﹣a＝0，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．等比数列{an}，若a3＝4，a15＝9，则a9＝（）A．±6B．6C．﹣6D．【分析】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同可得．解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，等比数列{an}，若a3＝4，a15＝9，则a92＝a3•a15＝36，∴a9＝6，故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若f（x）＝x（1+ax）2（a∈R），则““是“f（3）＝27“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数表达式进行计算即可．解：当时，f（x）＝x（1x）2，则f（3）＝3×（1+2）2＝3×9＝27，即充分性成立，若f（3）＝27，得f（3）＝3（1+3a）2＝27，得（3a+1）2＝9，即3a+1＝3或3a+1＝﹣3，得a或a＝﹣2，即必要性不成立，故““是“f（3）＝27“的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．5．曲线x2＝4y在点（2，t）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝2x﹣3C．y＝﹣x+3D．y＝﹣2x+5【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数，求出t，再由直线方程的点斜式得答案．解：由x2＝4y，得y，则y′，∴y′|x＝2＝1，又t，∴曲线x2＝4y在点（2，t）处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣2），即y＝x﹣1．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．6．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）A．i＞5B．i＞8C．i＞10D．i＞12【分析】由循环体的功能看出，这是一个求奇数数列前n项和的程序框图，注意这是一个直到型循环结构．解：由题意知，该循环体的算法功能是求数列等差数列1，3，5，7，……前n项和，并将符合题意的结果S输出．令，解得n＝5．所以加到第5项，显然第五项是9．故判断框内填：i＞10．故选：C．【点评】本题考查程序框图的算法功能识别问题，本题容易错选A，注意辨别．属于中档题．7．若双曲线的离心率√，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．√B．.2C．.√D．.1【分析】求得双曲线的a＝2，由离心率公式解得b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．解：双曲线的a＝2，c√，由e√，解得b√．渐近线方程为y＝±√x，即为√x±2y＝0，则双曲线的右焦点（√，0）到渐近线的距离是√√√√．故选：C．【点评】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查离心率公式的运用，以及运算能力，属于基础题．8．将函数f√向左平移个单位，得到g（x）的图象，则g（x）满足（）A．图象关于点（，0）对称，在区间，上为增函数B．函数最大值为2，图象关，于点对称C．图象关于直线对称，在，上的最小值为1D．最小正周期为π，g（x）＝1在，有两个根【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数f√2sin（2x）的图象向左平移个单位，得到g（x）＝2sin（2x）的图象，故g（x）的最大值为2，最小正周期为π．令x，求得g（x）√，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故A不正确；令x，求得g（x）＝1，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故B不正确；令x，求得g（x）＝2，为最大值，故g（x）的图象关于直线对称，在，上，2x∈[，]，g（x）的最小值为1，故C正确；在，上，2x∈[，]，由g（x）＝1，可得sin（2x），此时，2x，∴x＝0，故g（x）＝1在，上仅有一个实数根，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析选项中函数的图象，排除A、B、D，即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，1，当x→﹣∞时，f（x）→1，不符合题意；对于B，f（x），有f（1）＝0，不符合题意；对于D，f（x），在区间（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数图象的分析，涉及函数特殊值的分析，属于基础题．10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，2AB＝3AA1＝6，，点T在棱AA1上，若TP⊥平面PBC．则（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】先根据已知得到TP⊥PB，且AP＝2，BP＝1；再利用向量的三角形法则对所求一步步转化即可求解．解：因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，2AB＝3AA1＝6，，点T在棱AA1上，且TP⊥平面PBC．∴TP⊥PB，且AP＝2，BP＝1；∴•（）•0＝（）••••2×1×cos180°＝﹣2；故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则，属于基础题．11．已知a＝log1213，b＝（），c＝log1314，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．a＞c＞b【分析】作差即可得出，而根据基本不等式即可得出log1314•log1312＜1，从而可得出a＞c＞1，并容易得出b＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．解：，∵＜＜1，∴log1314＜log1213，且log1314＞1，＜，∴a＞c＞b